208 in 



rent imaginære Del af u (forkortet læst som „den imaginære Del" af ii), eller 



u = 9i(«) + iS("). 



Endvidere bruger vi undertiden Betegnelsen sg(zj) ^ j — ; (læs „Signum jj"), 

 naar u^O, og sg(0) = 0. 



Med disse Betegnelser følger af ■u-\'V'^={u-\-v){u'^v) Identiteten 



som er af Betydning for det følgende. Af denne Identitet følger en anden 



,ßii + av:'— aii + ßv'r = {\ß\-^—\a\^){\uf— üj^),**) 



blot ved at bemærke, at Leddene med 3î fra de to Kvadrater paa venstre Side er 

 identiske. Af den sidste Identitet vil vi nu udlede alle de algebraiske Hjælpesa»tninger, 

 vi bar Brug for. Forinden maa vi bemærke, at da bojre Side af Identiteten kun 

 indebolder de absolutte Værdier af de fire indgaaende Variable, kan vi paa vilkaarlig 

 Maade forandre Argumenterne til a, ß, ii, v i venstre Side, uden at forandre dennes 

 Værdi. 



Hjælpesætning 1. Naar a er et saaledes valgt kompleks Tal, at \a\<l, 

 vil følgende Uligbeder, bvori Uligheds- og Lighedstegn heste fra oven 

 nedad svarer til hverandre, 



I"! \vi og \u^av\ = :«H + y| 



være ækvivalente. 



Er derimod ja' > 1, gælder samme Sætning, kun skal den ene af 

 Uligbederne vendes om, o: Tegnene fra oven nedad læses i omvendt 

 Orden. 



Er endelig a<^\, vil stedse \u-'r av] = ' aii-\- v . 



Beviset kan læses ud af vor Identitet ved at sætte ß ^ I og betragte Fortegnene 

 paa begge Sider. 



Anm. Denne Hjælpesætning, som vi ogsaa kalder for a-M et boden, kan være 

 meget nyttig til Omformning af Uligheder imellem de absolutte Værdier af komplekse 

 Udtryk. Man kan, hvad vi i det Følgende jævnlig vil gøre Brug at, ofte bestemme 



*) Til bekvem Regning med komplekse Tal er ogsaa følgende Identitctei- nyttige: 

 |u+i>|2 — lu — ÜJ-' = 43{(ml) eller lu,-' — i u- = ■>K((u + üJ (u — w)) , 

 |a+i;|2— ju — ut» = 4 9{(u)9J(ü) = ,u+v\- — \u~v - , 

 \u + ui' — \u+vi^ = 4?(u)3(o); 

 men vi har i det Følgende ingen Brug for disse Identiteter. 

 **) Af andre Identiteter kan nævnes: 



Ju + au\'--r\äu-ßv\'- :t (,ar^+ /Jiä)(iui"-+Iü:'-'), 

 \ßu+ao\^— ßu-äv - = 4<R(a/îji«(uy), 

 [ßu-{-av\- — ßu+avr = 4 3(«y;) 0>(u w). 



