222 24 



§ 4. Almindelige Sætninger, vedrørende Funktioner ved 

 Begrænsning af deres reelle Del. 



Foruden de i § 2 indførte Betegnelser og Definitioner forudsætter vi overalt 

 i denne ü, naar ikke andet udtrykkelig fastsættes, at ^{y)<A for |xl<_/^, hvor A 

 betegner et reelt Tal. 



Theorem 1. Naar x„ vælges vilkaarligt i Oniraadet x\<R, og i dette 

 Xg, .x\, . . . Xn b e t e g n e r n o g 1 e a f N ii I j) u n k t e r n e a f F u n k t i o n e n y — «/„ ( s p e - 

 cielt ingen af dem med Undtagelse af .Vp), vil ækvivalent følgende tre 

 Uligheder være gældende: 



I- \y~y,\<\y~ij,-2(A-mij,)\x; 



II- \y-y,\'<4(A- ÎH //„) (A - 3{ y) ^^^ ; *) 



III. |y_y^ + 2(A-9{y„)j-^,|<2(A-%o)j£^,; 



heri er x =^ x„Xi . . . x,,- 



Theoremet er af 1ste Klasse, o: alle Forudsætningerne kan igen 

 udledes af hver især af Ulighederne I, II eller III, saafreml der gives 

 et .r„, for hvilket 9î(!/o) < A. 



Bevis. Vi sætter for Kortheds Skyld (ligesom i de øvrige Beviser i det Følgende) 



a = A-^(y), c,„^A-m(y„). 



Da er a O, a^ > O, og dl(y — //„) = «„— a < a„, hvoraf ækvivalent hermed 



ia^,d{(y — y„)<ial, iy — yol^< 1^ — J/o!' - 4a„9î(y — (/o) + 4a^ = |y — y„— 2a„;-', 



ifølge den første Identitet i § 2 (se S. 10). 



Altsaa er, idet di {y — y^ — 2 Op) < — a„<0, 



y — .'/o 

 y — Uo—^Oo 



en regulær Funktion af .r i det givne Omraade; endvidere er den absolut <' 1 og 

 har Nulpunkterne .Vp, og .v,, .t,, . . . Xn, hvis disse sidste findes. Ifølge Hjælpesætning 

 6 er altsaa 



i y — y o O • _ 



!y-y„-2a„! = '' ' " V> • • ■ -n, 



ækvivalent med I. Antages omvendt, at Ulighed I er gældende, og der gives et x^, 

 for hvilket 9î (y„) ■ ; A , haves y = y^ for / == O , og a fortiori er y — y^l < | y -- y^ — 2 a^l, 

 hvilket, efter hvad vi nys har set, er ækvivalent med 3{(y — y^) <, a^ eller 'ÎR{y) < A; 

 I er saaledes af 1ste Klasse. 



Eller x' > 



= !3-y„|''+4(A-3iy„)(A-3ly) 



