25 223 



Af I følger ækvivalent ved Kvadrering 



\y — !/ol'< (I y — i/o' - 4oo9i(y — ;/„) + 40,^)«^ = !/ — î/„!V+ 4o„rt x=, 

 hvilket er ækvivalent med II. 



III kan ogsaa bevises ved Kvadrering; men vi forelrækker «-Methoden. For 

 |a| < 1 er I ækvivalent med 



ly — yo+«(// — .'/o— 2ao)z! < \a(y — y„) + (lJ — y^,— 2a„)x\, 

 der for a = u = — x, (som opfylder Betingelsen), er ækvivalent med 



\(y-y„)(l-=<') + 2a,x'i<2a,x, 

 som atter er ækvivalent med III. Hermed er Theorem 1 fuldstændigt bevist. 



Anni. 1. Naar vi i Theorem 1 sætter — // for //, —A for A, og altsaa — ;/„ for 

 y„, bliver I og II uforandrede; disse Uligheder gælder saaledes uforandrede for 



9{(y)>A 



Anm. 2. For / = O eller .i' = .v,,, x^, . . . .v,, indtræder Lighedstegnet stedse i I, 

 II og III. Del indtræder for enhver Værdi af .v i del Ijelragtede Omraade, naar 



y-yo-^% .'='oR'-x.,x j ..o„..,rT ^-^^ 





hvor It"! = 1 (se Anm. til Hja»lpesælning 6, ovenfor S. 14). 



Theorem 2. Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger er 



|y-yJ<2(A-9iy„)j^- 

 Beviset folger af Theorem 1 , I ved a fortiori al erstatte hojre Side med 



\y -- .'/oU + 2«„z*). 



Anm. 1. Af Uligheden i dette Theorem folger igen nogle af Forudsætningerne, 

 nemlig y = //„ for x = x^, x^, . . . .t„. 

 Anm. 2. For x = Xf, har vi 



iy-yJ<2(A-%„). ^^ ^'T~b^'." r 



I«-'— Xç,X\ it \X Xg\ 



som for .Tg = O, giver os en Sætning af Lindelöf (I.e. "), S. 15) 



\y-ym < 2(A -9îy(0)) J^j-^~|, 

 hvoraf a fortiori følger Carathéodory's Sætning (se ovenfor S. 6) **). 



*) I et specielt Tilfælde, nemlig naar man ved, at x har en saadau Va^rdi, at 9i(y) £i 9î(!/,|l, vil 



X 



Theorem 1, 11 give en nøjagtigere Ulighed: \y — i/u|*^2(il — 9t!/o) ■ 



V 1 — x^ 

 **) Af Theorem 2 følger a fortiori i det almindelige Tilfælde 



\U < !/o; +2(/l-3fy„)j ^^<'C<y„; + 24j^ + jSRi/„||^-|. 



som direkte Generalisation af Carathéodory's Sætning. 



U.K. 1). Vidcnsk. Selsk. Skr., niilin vUlensIi. ou mathcni. AW., 8. Hække. 11.3. 30 



