224 



26 



Antager vi .t =|= æ„, og dividerer vi den almindeligere Formel med \x — Xy\ 

 samt lader .r„ -> x, har vi en anden Sætning af Lindelöf (ibid.) 



dy\ 



<2R 



A-m(ij) 



\dx\ = æ—\xf 



som vi senere skal komme tilbage til. 



Theorem 3. Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger, og 

 idet !j er en Konstant, er 



|y_,|>|,_y^+2(A-9iy„)j-^,|-2(A-3{y„)^^^, , 

 lf/->?l<''?-yo+2U-%o)j-^ 



+ 2(A-9?!/,) 



1-z 



3 ■ 



Beviset følger a fortiori af Theorem 1, III ved at erstatte venstre Side af Ulig- 

 heden med respektive 



V — Uo+^OoY. 



\y-rj\ og ly — )j| — , !? — ,'/« +2o„j 



Anin. 1. For z = O reducerer de to Uligheder sig til Identiteter. 



Anm. S. For )y = y„ reducerer den nederste Ulighed sig til Theorem 2. 



Aniu. 3. Vi bemærker som specielt Tilfælde af Theorem 3 for )f = O, x =^ x^ 

 (med Benyttelse af Identiten i Hjælpesætning 2) : 



R'\x-x,[' 



l.';l>|y„-2(A-9{fA,)^-^,_l^^^|,^^^,_l^|,^, 



_ 9( 4 — ^tii;^^l-''~-^')l \ R'-X„x \ 



og 



\y\< 



j,^_2(A-9{y„)^~ 



R^x-xJ-' 



(R'-\x,\-'){R'-\x\-')\ 



3^ +2(A-9{y„).p^ 



R\x — x„\\R^ — XnX i 



iR-'-\x,n{æ-\x\-^) 



For a-„ = O reducerer den nederste af disse to Formler sig til en Sætning al 

 Lindelöf (ibid.), (dog skrevet paa en simplere Form), 



ly\ < |y(0)-2(A - 9{ y (0)) ^,1^, j + 2 (A - 9{j/(ü))^,^-p. 



Ogsaa af denne Sætning følger a fortiori Carathéodory's Sætning. 



Theorom 4. Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger, idet 

 7j er en Konstant ^ y„, og 3î()j)<A*), vil 



y ^ 7j, naar x = x^x-^ .../„< 



Uo-y 



yo + v-^A' 



*) 



*) For 9î()j)>j4 vil y ^ y/ i hele det givne Omraade \x\ <, fl. 

 **) Denne Betingelse lian ogsaa skrives saaledes: 



lUo—Vl 



\yo-v\°-+ *^A~'iRy„)iA-^ri) 



