226 28 



a — Og 1 — X . 1 + / 

 X > — I — « >—x, eller a„ t— — < a ^ a„ . , 



som er ækvivalent med de Uligheder, som skulde bevises. 



Anin. 1. For ;f = O reducerer de lo Uligheder sig til Identiteter. Antages Ulig- 

 hederne at gælde for en vis Funktion y, saa følger omvendt al' Ulighederne tilhøjre 

 9{({/) = 9f(y(|) for ;? = O, og endvidere har man a fortiori 9i(j/ — j/o) < A — 9f(yu) 

 eller 9t(i/) < A. 



Ânm. 2. For x ^ x„ har man 

 ,, ^,, , 2R\x — x^\ 2R\x — x^\ 



hvoraf for .ij, = O følger en Formel af Lindelof (I.e. "), S. 15). 

 Korollar. Naar man har A'<'9{((/) < ^, er 



(^' - 3f yo) 1^ < 9Uy - y«) i. ( a - 9{ y„) p^ . 



Beviset folger ved at anvende Uligheden til højre, som vi allerede kender fra 

 Theorem 5, paa Funktionen — y, idet 9{( — y) < — A'. 



Theorem 6. Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger er 



|5(i/-y„)| < 2(^-%„)^. 

 Beviset læses umiddelhart ud af Theorem 1, 111 ved a fortiori i venstre Side at 



X' 

 ■X' 



Anm. 1. For ;? = O folger af Uligheden, at %{y) =%{y^^■ Tages altsaa Ulig- 

 hederne i Theoremerne 5 og 6 tilsammen, giver disse igen alle de Forudsætninger, 

 vi gik ud fra, nemlig [/(æ,) = y(.v„) for v = 1, 2, . . ., n og 3{(;/) < A. 



Anm. 2. For x = Xr, haves 



I ^ (y y„) I ^ - (A - ,)i y„) ^^, __ ^ ^^ ^,^ ^^, _ , ^^ , 



som for .Tg = O giver en Formel af Lindklöf (ibid.) 



IS(y-y(0)| < 2(A-9îy(0))^^^,. 



erstatte y — yp + 2ag- — ., med den ,.imaginære Del" deraf*). 



*) I det specielle Tilfælde, hvor man ved, at x har en saadan Værdi, at 9}(j/)]^ 9î(!/(i)i vil Theorem 1, 11 

 give en nøjagtigere Ulighed: | 3(!/- y») I Ss 2 (A- 9}y„) -==- • 



