29 227 



Theorem 7 angaaende Differenfialkvofienten af y. 



Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger er 



dx 



R'—lxY' = R- — \xY' \—x 



X 



Bovis. Den forste Ulighed er allerede bekendt fra Anm. 2 til Theorem 2. 

 Den anden Uliglaed folger ved a fortiori at erstatte a^A — •K(y) med a^ 

 = ( A — 3i' y,,) . - " i Henhold til den sidste Ulighed i Beviset for Theorem 5. 



Anm. 1. For x = Q er der Identitet imellem andet og tredje Led; det først- 

 nævnte kan derfor udskydes, uden at F"ormlen derfor bliver mindre omfattende. 



Heller ikke det forste Ligliedstegn kan undværes; thi Funktionen y = 2A 



fi + æ' 



(hvor Å antages positiv, da y (0) = 0), opfylder Betingelsen 9{(y)< A for |æ| < R, 



o§manhar|J/-;=27î4p^'-). 



^ ^ dx\ R'— I o; i- '' 



Anm. 2. Skriver vi y som hel Potensrække af x 



i]{x) = Ca-{-C^X-\- CjX- + . . . , 



(med en Konvergensradius, som er > R], giver den første Ulighed i Theorem 7, som 

 LiNDELöF har bemærlvet (ibid.). Relationen 



fi|c,|<2(A-9îc„). 

 Ligesom i Anm. 2 til Theorem 5 i § 3 kan vi heraf (for q hel positiv) udlede 



fi«|c,|<2(A-9ÎCo). 



den almindeligere Relation 



Theorem 8 angaaende Differenskvotienten af y. 



Under de i Theorem 1 gældende Forudsætninger, er for x:^x'' 



y~r f < 4ß, (A - 9{ y) (A - 9{ y*) 



(fi^'-|ar|^)(fi^'-lx*|-)' 



idet X* er en ny uafhængig variabel, og y* ^^ y (x*). 



Naar omvendt denne Ulighed er opfyldt, og der eksisterer en vis 

 Værdi ai x, for hvilken 9i'(y) A, vil 9i(y)<A for alle x. 



*) Hvis man desuden ved, at ^l{\j)>A', har man a fortiori 



I dg I A — a: 



'dx' < ''" R^—\xf 

 **) Lighedstegnet indtræder jnere almindeligt for Ftinlitionen 



R(x — x„) 



R — Xf,x + yR{x — x^) 

 hvor .r„, y^ og y er Konstanter, .som opfylder Betingelserne l.c^ | < iî, 8i(!/o,' < ■4, ri == I- 



