210 12 



Hjælppsætniiig 5. Na ar u„j < /î, iu\<R, vil man have 



i?||ü|-|üo|| \ R{u-u,) \ ^ R{\u\ + \u,\) 

 R^— Uo« i =- I R~— do" ! ^ R' + ! «o» I ' 

 Lighedstegnene indtræder da og kun da, naar mindst eet af Tallene 

 (Ï,, og a er O, eller i Uligheden til venstre for sg (u) = sg (iIq), i Ulig- 

 heden tilhøjre for sg(u) = — sg(Uo). 



Bevis. Ifølge Hjælpesætning 2 er hver Side af Identiteterne 



\R'-u,u\'-\RHii-n,)-' = {R-'~ u„iiy-RHii - \u^.y 



og » — ■ ={R'+\ «o" \Y-RH\u\ + ! «„I)-^ 



positive. Ved Division Led for Led af øverste eller nederste Identitet med respektive 

 Ulighederne 



ßä — (i„ij ■■' > (R-~ ii„ii Y og R' - ii„ii '•'- < (R' + u„ n'Y 



fremgaar Uligheder, som er ækvivalente med hver sin af de to, som skulde bevises. 

 Bemærkningen om Lighedstegnene følger deraf, at de respektive Lighedstegn i de i 

 dette Bevis benyttede Uligheder da og kun da indtræder for respektive sg (jj^u) = 1 

 eller O og — sg («g") = 1 eller 0. — 



Efter disse yderst elementære, algebraiske Hjjelpesætninger*) gaar vi nu over 

 til at bevise en funktionstheoretisk ; men forinden maa vi indføre nogle Definitioner 

 og Betegnelser, hvoraf der stedse gøres Brug i det F^ølgende. 



Ved X og X* forstaar vi komplekse Variable, som — naar ikke andet udtryk- 

 keligt fastsættes — opfylder Betingelserne x| < Ä, \x*\ < R. Endvidere betegner vi 

 ved Xg en vis Værdi af .v, hvilken vi frit kan vælge med den angivne Begrænsning, 

 altsaa \Xf, <. R. Ved Xj, x,,... betegner vi andre Værdier, som vi i et hvert 

 enkelt Tilfælde vil definere. 



Til ethvert x^, for v ^ O, 1, 2, . . . lader vi svare et reelt, ikke negativt x^, be- 

 stemt ved 



Zk; = x^,{x) = 



\R(x — Xv) 



R^ — XvX 



Af Hjælpesætning 3a følger umiddelbart, at x„ stedse er <1, og at for andre 

 Indices x^ 1, naar jx^, =iJ; ved nederste Ulighedhedstegn fordres R^ ^ XvX. For 

 Kortheds Skyld betegner vi ved x^^x{x) et Produkt af z'er med forskellige Indices, 

 f. Eks. x = Xf^x^...Xn. Er alle x,, Xg, ... x„ < 7?, vil dette x tilfredsstille Uhgheden 

 O <^x<, \. Naar vi anvender den anden Variabel x*, betegner vi paa samme Maade 

 Zi^* ^ /j,(.-r*), for 1/ = 0,1,2,... og x*s=^x(x*); (Konstanterne x^.Xj.Xj,... forandrer 

 vi ikke, medmindre det udtrykkeligt fastsættes). 



*) Det vil vanskeligt være undgaaet Opmærksomheden, at Hjælpesætningerne Nr. 2—5 er af 

 homogen Form, hvilket medfører, at vi kunde have indskrænket os til at udtale dem for R = 1. 

 Imidlertid følger deraf ingen som helst Fordele i det F^ølgende, og det er med Forsæt, at den homogene 

 Form er valgt. 



