13 211 



Et særligt simpelt Tilfælde indtræder, naar ■/. reduceres til z^, som specielt for 

 .Tq = o er lig med ^ . 



Af Hjælpesætning 3a følger et vigtigt Resultat. Er alle |x^ < 1, vil for \x\ = R 

 de tilsvarende x^= 1, og altsaa vil for |.r| -> /?, lim z ^ 1. 



Ved y =5 y{x) betegnes stedse en analytisk Funktion af x, som er regulær for 

 |x[ < /?; for \x[ = R gør vi ingen Forudsætninger. Ved ;/* forstaas j/(x*). y{x) kan 

 naturligvis betragtes som en hel Potensrække af x, hvis Konvergensradius er > R. 

 For Kortheds Skyld sætter vi stedse (/„ ^ y{x„); naar x„ = O, bruger vi dog den fuld- 

 stændige Betegnelse i/(0) for al undgaa Misforstaaelse. 



1 denne Afhandling anvender vi — foruden de fremsatte algebraiske Hjælpe- 

 sætninger — kun enkelte Sætninger fra den elementæreste Del af Funktionslæren, 

 hvilke yderst simpelt, elegant og bedst (o: med det mindste Maal af virkelige Forud- 

 sætninger) kan bevises ved de hele Potensrækkers Theori, saasom at en Funktion, 

 der er en Kvotient af to regulære Funktioner, ogsaa er regulær, naar Nævneren 

 ikke kan blive O, alt for \x < R; at Maksimum af den absolutte Værdi af en for 

 x\ < r regulær Funktion kun kan indtræde for et x paa 'x\=r, o. s. v. ; samt 

 endelig 



Hjælpesætulng 6, Generalisation af det Schwarz'ske Lemma. 



Naar Funktionen ;/ , foruden at opfylde de ovennævnte Forud- 

 sætninger, ogsaa opfylder den, at \y\ < M for a; <R, hvorved M er 

 reel og positiv*), og y endvidere har Nulpunkter i x, , x,, ..., .r„**) inden- 

 for det betragtede Omraade, da er 



\y\<^Mx, hvor x ^ x^ x., . . . x„. 



Denne Løsning er af Isle Klasse; thi af Uligheden følger a fortiori 

 \y\ < M, og for / = O (o: x = Xj , x.^ , . . . eller .r„) følger, at ;/ = O for de an- 

 givne Værdier af x. 



Bevis. Ifølge Forudsætningerne er Funktionen 



y 



(x — Xj)(x — x^) ... (x — x„) 

 og derfor ogsaa 



= (fi^ -1^1 x) (fi^— Xj x) ...(/?= — x„x) 



" ^ R{X — X^) • R (X -^X.,) ...R (X — Xn) 



regulære Funktioner for |x[< 7?, og man har 



I I |yl M 



*) Som overalt i det Følgende. 



**) Intet x^ maa forekomme oftere, end den tilsvarende Multiplicitet af det paagældcnde Nulpunkt 

 angiver. Denne Fordring tænkes stedse opfyldt i det Folgende, uden at det hver Gang udtrykkeligt be- 

 hflver at anfnrps. 



