212 14 



Vi kan nu ifolge en ovenfor gjort Bemærkning (S. 13) vælge et .t = /■ «^ /?, saa 

 nær ved R, at r > |xj, for v = 1, 2, ..., n, og at x > z~- , hvor s er en rorud 

 valgt positiv Størrelse, og vi har da paa Cirklen \x\ = /• 



|u|<M(l+£). 



Ifølge en ovenfor anført Sætning af den elementære Funktionslære gælder 

 imidlertid den sidste Ulighed for alle \x\<r, og da s var valgt vilkaarlig, har vi 

 for x\<r<M ogsaa ii < M, eller y\<^Mx, hvilket skulde bevises. 



Anm. Det er let at se, al Lighedstegnet kan indtræde i et vist Tilfælde (for- 

 uden altid, naar x = a^j, cc^, . . . eller a;„, i hvilket Tilfælde begge Sider = 0). Lad 

 os f. Eks. vælge 



-r^R(x-xJ 



hvor 7- er en Konstant, som tilfredsstiller Betingelsen j;-] =1, og |xi|, {x^l, . . . \x„\ < R, 

 da er øjensynligt 1/ regulær for x < R, og man har // = Mx < M. Da ;f ^ 1, for 

 \x\^R, vil ogsaa 1/ -> M. 



Inden vi gaar over til at anvende de i denne § beviste Hjælpesætninger, vil vi 

 et Øjeblik betragte den sidste, idet vi skriver den mere udførligt: 



Naar ly(.r) er regulær og ii(x). <M for x <_ R, samt x^,x.^,...,x„ er nogle af 

 Funktionens Nulpunkter i det givne Omraade, vil 



M, y , il OL I Cl- I\ jLiy iv J\ •^ It •** 



= !-'^ ' R{x-x,) R{x-x,) R(x—Xn)\' 



Hvis ij{x) imidlertid er regulær for et større Omraade, nemlig for x\ < R' :> R, 

 da kan vi (ifølge Hjælpesætningerne 3 c, 3 b og 3 a) blandt de i højre Side fore- 

 kommende x.^ a fortiori (de tilsvarende Faktorer — er <^1, saalænge \x\ < R) op- 



tage et vilkaarligt Antal andre x^,, som ligger ganske vilkaarligt i det udvidede 

 Omraade udenfor det oprindelige, (og da x\ stadig antages R, er det overflødigt 

 at tilføje den indskrænkende Betingelse x ^ x^, for disse nye x^). Naturligvis staar 

 det os frit for at lade disse x.^ falde i Nulpunkter af ij{x) i det nye Omraade, hvis 

 saadanne findes. 



Med denne Udvidelse af Hjælpesætning 6 omfatter den for a; = O min ovenfor 

 under § 1, 3" citerede Sætning, saa vel som Cauathéodorv og Féjeu's Resultater i 

 den '') citerede Afhandling. 



Hjælpesætning (> kan ogsaa udvides paa en anden Maade. Det er ingen va'sent- 

 lig ny Opgave, dersom vi — stadig med de samme Forudsætninger for ;/ — i Stedet 



*) Naar Xj, . . . x,, er alle Nulpunkter af y i x < R, vil dette være den eneste regulære Funktion 

 af X, som opfylder ISetingelsen i/= Mx. Da vi ingen Brug har herfor i det Følgende, skal vi ikke op- 

 holde os med at vise dette. 



