15 213 



for Nulpunkter af y betragter Nulpunkter af y — jy, hvor rj er en vilkaarlig valgt 

 Konstant, som dog tilfredsstiller Betingelsen |^| < M. Man Ijehøver blot i Stedet 

 for y at betragte Funktionen 



Mjy-j) 



M'-rjy ' 



Denne Funktion er nemlig regulær, fordi Nævneren ifolge Forudsætningerne er 

 absolut > O, og ifølge Hjælpesætning 3 a er Funktionen absolut < 1. Vi kan altsaa 

 anvende Hjælpesætning 6 derpaa og finder saaledes følgende mere almindelige Form 

 for denne: 



Er y en regulær Funktion af .r og y <M, alt for x <:, R, samt x^, 

 X.,, . ..Xn nogle a f N u 1 p u n k t e r n e a f F u n k t i o n e n y — rj, hvor r; er en Kon- 

 stant, hvis absolutte Værdi er <M*), vil 



M y — r/ < M'^^Tjy X, 

 hvor 



For ij ^ O har vi atter Hjælpesætning 6. Hvad ovenfor er sagt angaaende 

 Udvidelse af den sidstnævnte Sætning, gælder naturligvis nnitalis mutandis for vor 

 sidste Omformning heraf. 



Af X = O, følger y(x,J) = jj, for y = 1, 2, . /. 7!, og af Sætningen følger a fortiori 

 My — rj < M^ — rjy , eller (ifølge Hjælpesætning 3 a) y < M. Theoremet er altsaa 

 af 1ste Klasse. 



For o; = O haves det under •') (S. 107) citerede Resultat af Landau; se oven- 

 for S. 7. 



§ 3. Almindelige Sætninger, vedrørende Funktioner ved 

 Begrænsning af deres absolutte Værdi. 



Foruden de i § 2 (S. 13) indførte Betegnelser og Definitioner forudsætter vi 

 overall i denne §, at |y < M for x R, naar ikke andet udtrykkeligt fastsætfes. 



Theorem 1. Naar æ„ vælges vilkaarligt**) indenfor Omraadet, og x„, 

 x^, . . .x,i i dette betegner nogle af Nuli)unkterne af y — y^, (specieltingen 

 a f d e m m e d U n (1 1 a g e 1 s e af x„) , vil æ k ^■ i v a 1 e n t følgende tre Uligheder 

 være gældende: 



Ï- M\y — y„\<M-^-y^y\x; 



M^ 1 



*) Hvis \tj\ > M, har y — rj ingen Nulpunkter i det betragtede Omraade. 



**) I Anvendelserne er det naturligvis fordelagtigst at vælge x„ saaledes, at ij„^ y(x„) har en be- 

 kvem Værdi. 



