214 16 



heri er 



X = /|| Xj . . . Zn. 



Theorem et er af Iste Klasse, a: alle Forudsætningerne følger igen 

 af hver især af Ulighederne I, II eller III, saafremt der gives et æ^, for 

 hvilket |i/o! <M. 



Bevis. Ifølge Forudsætningerne har Funktionen ;/ — ij^ Nulpunkter for x = x„, 

 .x\,...Xn, og I er saaledes en uiniddelhar Følge af Hjælpesætning 6 i den alminde- 

 ligere Form, vi har givet i Slutningen af § 2. Antages omvendt Ulighed I at være 

 gældende, da er ;/ = ;/„ for z ^ O, og af I følger a fortiori M y— (/„j < \M^ — î/oJ/l- 

 Gives der nu et Xg for hvilket Ij/qI < M, da er ifølge Hjælpesætning 3 a ogsaa | j/ < M, 

 og 1 er saaledes af 1ste Klasse. 



Ved Kvadrering af begge Sider af I og med Benyttelse af Identiteten i Hjælpe- 

 sætning 2 følger ækvivalent 



M-'\y-y„l^<'~M-'-i,„i,rx' = iM'\y-y, '^ ^ iM-'-~\y„-:^){M-'~\y\^')) x\ 



som atter er ækvivalent med II. 



Anvender vi Hjælpesætning 4 paa I (med ;/ for ii, ;/„ for ti,„ i\I for H, x for A-), 

 har vi, idet y^' x ■ .'/u '^^' ^^ '^I ß'" ækvivalent med I. 



Hermed er Theorem 1 fuldstændigt bevist. 



Anni. 1. I og II er ogsaa gældende under F'orudsætningerne \y\> M, \yg\>M, 

 hvad man umiddelbart ser ved at tage for ;/, for M; eller ogsaa ved Hjælpe- 

 sætning 3 b. 



Anm. 2. Lighedstegnet indtræder i I, II og III altid for de særlige Værdier af 

 a* = .T„, X,, ... eller .v„. Ifølge Anmærkningen til Hjælpesætning 6 indtræder det for 

 en hver Værdi af x i det givne Omraade, naar 







hvor |yo <'''^ og Ir! = 1- 



Anm. 3. For (/„ = O reducerer I, II og III sig til Hjælpesætning 6. 



Theorem 2. Under samme Forudsætninger som i Theorem 1 er 

 (b) |y-yo!<(M+|y„[/)z; 



(c) y-y„;<l/M^- yol'7f3= 



