19 



217 



Theorem 4. Under de samme Forudsætninger som i Theorem 1, og 

 idel iy(^={/o) ^i" ^" Konstant, hvis absolutte Værdi < M*), vil 



yé^rj for x = x„ x, . . . /„ < -„7"^ • 

 Bevis, ij 4= -j, naar 1ste Led i Uligheden i Theorem 3 er positiv, eller naar 







Ifølge Hjælpesætning 4 (med x for /c, M for /?, ij for u, ,(/„ for «„, og idet som 

 Følge af Forudsætningerne M-^ijf^rj, /|yfl|<A/) vil denne Ulighed være ækvivalent med 





M{7]-yo) 

 M^'~rjy„ 



>/. 



hvilket skulde bevises. 



Et andel Bevis følger ved at anvende venstre Side af Korollar 1, Theorem 3, 

 paa Funktionen 



M{g-rj) 

 M'—rjy ' 



der — som vi har set — er absolut < 1 og endvidere for x 

 antager Værdien 



hvorfor 



.r„ ^ = O, 1, 2, . . . n 





M(y~y) 

 M^ — Tjy 



> 



! M(yo-y) | 



1 



M' — Tjya 



Anm. Det er umiddelbart indlysende, at jo flere Faktorer man kan medtage i 

 / i venstre Side af Uligheden i Theorem 4, des større Omraade bestemmes derved 

 for X. Sætningen er allsaa af størst Betydning, naar vi kender saa mange som muligt 

 af Nulpunkterne i y — y^; men vi kan i alle Tilfælde tage x = z^, og har da 



Korollar 1. 



y ^ rj, naar x„ 



\R{x—x„) ^ M{yo —j) 



R- — Xç,x 



Som specielt Tilfælde mærkes Xg^O (og i/o ^ .'/ ('^))> bvilket giver os det oven- 

 for S. 7 anførte Resultat af Landau (1. c. ■'), S. 105). 



Som et andet specielt Tilfælde mærkes ij = O, som giver 



y =)= O, naar 



\r-' — x„x m 



*) For i; > Af vil y ^ Ti i hele Omraadet x < R. 



29* 



