218 " 20 



Heraf følger a fortiori, idet \R^- - XgX\ = \R^ — l^ol^ — ^'o(-i' — ^'o)l erstattes med 

 W—\x„['—\x„\\x — Xa], Lindelöf's Resultat (1. c. '') (5), S. 12): 



y:#0, naar |x - æj < ^,_|^ ' l^ol- 

 Korollar 2. Det foregaaende Korollar kan ækvivalent omformes til følgende : 



(, naai 

 og specielt 



u + n naar 'x-x R'UM-^-y Uol' - M '^ly ,- ri\-^) RM{R-^-\x,\-^)\M-^-ri y,\ |y„-,| 

 y-^J' ^ 'R2\M-'~riy,\-'-M-'\x,{y,-n)\'\ « = |ilf^- ^yy^p - M-^|x,(y„-,)|^' 



„±0 nw 't-x ^^iMlzL^Mll < RM(R_!_-\x,r)\y, 



'R-'M-'-\x,y,r^\ ^ R-'M'-\x,y, 



Det sidste Omraade er til alle Sider større end det af Lindelöf angivne, som 

 vi nys har anført. 



Beviset følger ved at anvende Hjælpesætning 4 til Omformning af Korollar 1 

 (med , ^^^"^^ 1 for k, x for u, x„ for u„ idet |.rj ^^yo-~V) < ja; J < ;?). 



Anvender vi Identiteten i Hjælpesætning 2, har vi ogsaa 



«=fc. naar'x-x fi-( M^- lyH (M ^ - |y„n | 



/î=(M^-|,P)(M--|yol^') + M-^|y„-,lHfi^-|Xo|^)- 



Theortun 5 angaacnde Differentialkvotienten at y. 



Under samme Forudsætninger som i Theorem 1 er 



Idyl R{M^-\y\') ^ RM M''-^y,f 



\dx\ -- M{R''-\x\-') = Rä-ixäM^-'j^äz^^ ^ '■ ^ 



Bevis. Som vi allerede før har bemærket, er den første Ulighed, Lindelöf's 

 Formel, en umiddelhar Følge af Theorem 1, I eller II, naar man tager x ^ Xq og 

 lader x„ -» x. Den anden Ulighed er en Følge af Theorem 3, Korollar 2, Uligheden 

 tilhøjre. 



Ânm. 1. Den Ulighed, som dannes a fortiori ved Udeladelse af mellemste Led, 

 kan i en vis Forstand kaldes mere omfattende end Lindelöf's Formel, da denne 

 fremgaar af den førstnævnte for a"„ = x. Endvidere indeholder 3dje Led ikke ;/ 

 men y^, som maa anses for bekendt. lovrigt maa bemærkes, al Lighedstegnet i 



*) I Stedet for den første Ulighed kan man a fortiori sætte 



jdyi ^ RM 



\ dx\ = R' — \x\- 



Ved man, at y ogsaa er > M' :^ O i det betragtede Omraade. Iiar man den nøjagtigere Formel 



idyl R{M' — M'-') 

 Ida;' < *r{ft-— X ■)' 



