21 219 



Lindeløf's Formel ikke kan undværes, da det — hvilket vi overlader til Læseren at 



M 



verificere — indtræder for j/ ^ ;- ^ r , ;-;^l. *) Lighedstegnet tilhøjre kan heller 



ikke undværes, da det indtræder for x ^=0, altsaa f. Eks. for x^ = x. 



Anm. 3. Vi har forhen heinærket (se ovenfor S. 8), at Lindelöfs Formel for 

 X = O indeholder en tidligere Formel af Landau, der, idet g skrives som en hel 

 Potensrække af x: 



g(x) = Co + Cj.r + c^x + ..., 



hvis Konvergensradius er >^ R, kan skrives saaledes: 



RM c^i < M3— jcol^. **) 



Det er let at give dette Resultat en mere almindelig Form. Lad p og (/ være 

 hele Tal, q > p >^0 og H en primitiv </"= Rod af Enheden, da er 



hvor venstre Side er absolut < M, og Rækken i Parenthesen paa højre Side, be- 

 tragtet som hel Potensrække af x', i det mindste konvergerer for xi[ < /?'. Betragter 

 vi alle Værdier af .r for x\ = r < R, vil for disse Værdier Rækken i Parenthesen 



M 

 være absolut <— ^, hvilket vil gælde for alle .r < r. Da nu r kan tages saa nær 



'' M 



ved /?, som vi ønsker, vil saaledes den absolutte Værdi af Rækken være < ^. 



Ifølge Landau's Sætning er derfor 



M, , M^ 



eller 



RP+1 M Cp+g i < M^ — ß2p I cp [3 , 



som er den Relation, vi vilde bevise***). 



*) Og mere almindeligt for !/=Jlf ^ — - = . hvor Konstanterne x„ og ;/„ op- 



fylder Betingelserne [x^K R, [VoK M- ^"^^'-''o^) + 7-1/0^(^ — ^0) 



**) At Landau (I.e.-) kun beviser denne Formel for R = l, M=\, er naturligvis ingen Indsliiænli- 

 ning. løvrigt kan man endogsaa af Landau's Formel ved en lineær .Substitution atter udlede den al- 

 mindeligere Lindelafske. Sætter man nemlig 



/R- (X -f Xo)\ 



\ R- +XoX/ 

 saa er (ifølge Hjælpesætning 3 a) ' f[X)\ < itf for ix[ < R, medens f{x) ses at være regulær i dette Omraade. 



Form len RM \i/ {0)\ < M^— ij (Oj - 



M 

 bliver til -^\f'(x„)\iR''-\x,\'-) < M'-\f(x,)\'-, 



som ved Ombytning af f{x) med y{x] og x„ med x giver Lindelafs Formel. 



***) Det er let at generalisere dette Kesultat betydeligt. Imidlertid vilde dette ganske falde udenfor 

 denne Afhandlings Hammer, og jeg maa derfor forbeholde mig ved en anden Lejlighed at komme til- 

 bage hertil. 



ß'w. Cp+,! < ^^-\Co 



