220 



22 



For /) = O fremgaar som specielt Tilfælde Wiener's ovenanførte (se S. 7) Ud- 

 videlse af Landau's Sætning. 



Theorem 6 augaaende Diflerenskvotieuten af y. 



Under de samme Forudsætninger s o ni i Theorem 1 er for a* =j= x* 



y—r 



X — x^ 



< 



RHM^—\y\^){M-'— \y*\-') 



M'(R'- 



X 



(ßä 



x 



■* 12 



*=) 



idet a-* er en ny uafhængig variabel, og y* ^y{x*). 



N a a r omvendt denne Ulighed er opfyldt, og der eksisterer en 

 'vis Værdi af a-, for hvilken y M, vil y <M for alle x. 



Bevis. Naai 

 c*, har vi 



vi i Theorem 1, II tager x = x^ 



R^lx- 



\R^ — XnX\ 



og erstatter X(, med 



y—fr 



< 



X- 



-x^ 



RH M-^-\y\^)(M'-\y*\^) 



MmR-'—x*x"- — R^\x—x*\^) 



hvilket ifølge Identiteten i Hjælpesætning 2 netop er den Ulighed, vi skulde bevise. 

 Eksisterer der en vis Værdi af x*, for hvilken y* <.M, har vi omvendt ifølge 

 Theorem 1, at Uligheden i Theorem G er ækvivalent med 



hvoraf a fortiori 



M {y — y*) 

 M-—y*y 



M (y -g*) 



< 



R{x — x*) 

 R-^ — x*x 



y* y 



< 1. 



hvilken Ulighed er ækvivalent med \y\ < M ifølge Hjælpesætning 3 a. 



Hermed er Theorem (5 fuldstændigt bevist. 



Anm. 1. Ifølge Anni. 1 til Theorem 1 ser man let, at dersom der findes en vis 

 Værdi af .r'', for hvilken \y*\ > M, vil Gyldigheden af Uligheden i Theorem (5 ogsaa 

 medføre, at |y| > Af for alle Værdier af a- i det betragtede Omraade. 



Aum. 2. Naar vi ønsker, at der i højre Side af Uligheden i Theorem 6 ikke skal 

 forekomme y eller y*, kan vi ligesom ovenfor ved Hjælp af Korollar 2 til Teorem 3 

 eliminere den ene, den anden eller begge disse Funktioner, saa at der i Stedet herfor 

 kun indgaar et ;;„, som vi hellere ønsker. Vi erstatter altsaa a fortiori 



M^— \y\- med M- 



M^- 



Itfo 



M-'-ly^" 



B(i 



og 



M-'- 



nied 



M'' ~ ^^-°— (l-\-y*Y hvor z* 



x(x*). 



Heraf følger a fortiori den simple Formel 



\y — y* I 



< 



RM 



Hvis man ved, at y ogsaa er ~> Af ' > O i det betragtede Omraade, vil man have den nøjagtigere Formel 



y_j,» ^ Ü(M--Jlf'-) 



< 



MViR--\x\^){B?-\x*\^) 



