§ 1. Allgemeine Sätze. 



Eine ebene Elementarkurve ist eine reelle, stetige und geschlossene Kurve, die 

 aus einer endlichen Zahl von Bögen zweiter Ordnung zusammengesezt ist. Ebenso 

 ist eine gewundene Eleinentarkurve reel, stetig, geschlossen und aus einer end- 

 lichen Zahl von Bögen dritter Ordnung zusammengesetzt; diese Bögen nennen wir 

 Elementarbögen. Wir setzen ferner voraus, dass die berührende Gerade und die 

 oskulierende Ebene mit dem Berührungspunkt sich stetig ändert. 



Die in dieser Arbeit betrachteten gewundenen Kurven n-ter Ordnung sollen 

 den Maximalindex haben, d. h. sie sollen von jeder Ebene in n oder in n — 2 Punkten 

 geschnitten werden, wobei immer nur reelle Punkte in Betracht kommen, und zu- 

 sammenfallende Punkte wie gewöhnlich gerechnet werden. 



Jede gewundene Kurve dritter Ordnung hat den Maximalindex. Das Bild der 

 Kurve R^' auf eine Ebene aus einem Punkt P des Raumes (ausserhalb /?') ist eine 

 Kurve dritter Ordnung: Eine solche hat wie bekannt entweder drei Inflexioiispunkte 

 und dann keine Doppelpunkte oder Spitzen, oder auch nur einen Inflexionspunkt 

 und dann entweder einen Doppelpunkt oder eine Spitze, das letztere nur, wenn 

 durch P eine Tangente der Kurve geht. Das Bild aus einem Punkt der Kurve R^ 

 selbst ist zweiter Ordnung. 



Das wesentliche in diesen Sätzen besieht im folgenden : 

 (1) Wenn ein Punkt P die Tangentenfläche der Kurve R^ über- 



schreitet (nicht in einem Punkt der Kurve selbst), dann und nur dann 

 ändert sich die Zahl der durch P gehenden Doppelsekanten und 

 oskulierenden Ebenen. Die Anderung ist für die Doppelsekanten -j-1 

 oder — 1 und gleichzeitig damit für die oskulierenden Ebenen —2 

 oder +2. 



Weil eine Raumkurve dritter Ordnung auch dritter Klasse ist, lässt sich das 

 Dualitätsprincip anwenden, was keiner näheren Ausführung bedarf. 



Wir gehen jetzt zu den allgemeinen Raumkurven /?" vom Maximalindex über. 

 Weil fl" als Elementarkurve vorausgesetzt ist, wird auch ihr Bild C" auf eine Ebene -t 

 eine Elementarkurve sein, und jeder Punkt M' von C" ist, wenn kein innerer Punkt 

 eines Elemente rbogens, jedenfalls ein gemeinsamer Endpunkt zweier in M' zusam- 

 menstossenden Elementarbögen. Diese zwei Bögen berühren in M' eine und die- 



