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selbe Gerade m'. Eine in tz liegende und in' beliebig naheliegende Gerade die 

 durch M' geht, wird desshalb höchstens zwei M' beliebig naheliegende Punkte mit 

 C" gemein haben. Wenn das aber der Fall ist, kann man ersichtlich eine nicht 

 durch M' gehende und m' naheliegende Gerade finden, die mit 6" höchstens einen 

 M' naheliegende Punkt gemein hat. Jetzt sieht man leicht: 



Eine oskulierende Ebene der Kurve kann nicht mehr denn drei (2) 

 zusammenfallende Punkte mit derselben gemein haben. 



Nehmen wir nämlich an, die oskulierende Ebene /^ hätte in M vier zusammen- 

 fallende Punkte mit fi" gemein; /i wurde dann ausserhalb M noch höchstens n — 4 

 Punkte mit R" gemein haben. Projiciert man nun fi" aus einem von M ver- 

 schiedenen Punkt von // auf eine Ebene tt, erhält man eine Kurve C, deren Tangente 

 m' im Bilde M' von M ausserhalb M' höchstens n — 4 Punkt mit C" gemein hat. 

 Man kann aber dem oben gesagten zufolge immer eine m' naheliegende Gerade m\ 

 finden, welche höchstens einen M' naheliegenden Punkt mit C" gemein hat, und 

 die Gerade m\ würde also weniger als n — 2 Punkte mit C" gemein haben, was 

 unseren Voraussetzungen wiederspricht. 

 Jetzt sieht man weiter: 



JederPunktMunsererRaumkurve7?"isl ein innerer Punkt eines (3) 

 Elementarbogen s. 



Legen wir nämlich mit M' als Centrum eine Kugelfläche, und nehmen wir 

 an, dass der innerhalb der Kugclfläche liegende Bogen von R" sei nicht dritter Ord- 

 nung. Dann lege man eine koncentrische Kiigellläche mit dem Radius l r, und 

 versuche, ob der durch dieselbe abgeschnittene Bogen dritter Ordnung sei, u. s. f. 

 Nach einer endlichen Zahl von Versuchen muss man einen Bogen driller Ordnung 

 erhalten, weil sonst eine Ebene mehr als drei in M zusammenfallende Punkte mit 

 R" gemein haben würde. 



Der obige Satz (2) kann man auch so aussprechen : 



Eine Hau m kurve vom Ma ximal index kann keine hy peroskulie- (2*) 

 rende Ebene haben. 



Ferner hat man auch : 



Eine Hau m kurve vom Maxi malindex kann keine doppelberüh-(4) 

 rende Ebene haben. 



Hätte nämlich i?" eine doppelberührende Ebene a, dann würde das ebene 

 Bild C" von /?« aus einem Punkt von a eine Doppeltangente /' haben, und man 

 könnte in der Bildebene t' naheliegende Gerade finden, welche höchstens n — 4 Punkte 

 mit C" gemein haben würden. 



Weil nun die Zahl der durch einen Punkt P gehenden Doppelsekanten von 

 R" sich infolge (4) nicht durch Überschreiten einer, doppel umschriebenen Devel- 

 lopablen, und infolge (2*) die Zahl der durch P gehenden oskulierenden Ebenen 

 sich nicht durch Überschreiten einer hyperoskulierenden Ebene ändern kann, folgt 

 aus (3), dass die Aussagen im Satz (1) nach gültig bleiben, wenn man jR-' durch 

 R" ersetzt. 



