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Wir bemerken nach den folgenden kleinen Satz: 

 (5) Jede durch eine Tangente t von R" gehende nicht oskulierende 



Ebene s c h n e i d e t a u s s e r h a 1 b d e s B e r û h r u n g s p u n k t e s in n — 2 P u n k t e n. 



Projiciert man nämlich die Kurve aus einem Punkte von / (nicht aus M), er- 

 hält das ebene Bild C" eine Spitze im Spur T von t. Eine durch T gehende in 

 der Bildebene liegende nicht mit der Tangente in T zusammenfallende Gerade m 

 muss nun ausserhalb T immer n — 2 Punkte mit n gemein haben. Nicht mehr, 

 weil die Kurve n-ter Ordnung ist, und nicht weniger, weil der Index n — 2 ist; 

 man sieht dies sogleich durch Betrachtung von Nachbargeraden zu m. 



Weil das ebene Bild der Kurve nicht zwei Spitzen haben kann, ist ein Cus- 

 pidalpunkt auf der gewundenen Kurve nicht möglich; dagegen spricht nichts gegen 

 das Auftreten von Doppelpunkten. 



§ 2. Die zwei Gattungen von Kurven mit dem Maximalindex, 

 die auf einer Regelfläche zweiter Ordnung liegen. 



Eine Regelfläche zweiter Ordnung, oder wie wir im folgenden oft kurz sagen 

 wollen, eine Regelfläche enthält zwei Systeme von Geraden, die wir als Erzeuger f 

 und Erzeuger g bezeichnen wollen. Aus dem obigen Satz (4) folgt, dass ein Er- 

 zeuger fund ein Erzeuger g nicht beide die Kurve berühren können; dagegen ist 

 es sehr wohl möglich, dass ein Erzeuger des einen Systems die Kurve be- 

 rühren kann. 



Wir wollen nun erst den Fall in Betracht nehmen, dass überhaupt kein Er- 

 zeuger die Kurve R" berührt. Zwei beliebige f — und ebenso zwei beliebige g — 

 müssen dann dieselbe Zahl von Punkten mit der Kurve gemein haben, es möge 

 jeder Erzeuger / p Punkte und jeder Erzeuger g q Punkte mit /?" gemein haben. 

 Zwischen diesen Zahlen besteht die Relation: 



(6) p-'-q = n. 



Betrachtet man nämlich ein Erzeuger f^ und ein Erzeuger j/,, die beide durch den- 

 selben Punkt M von /?„ gehen, dann enthält die Ebene {f^ g^) die Tangente in M, und 

 wird desshalb infolge Satz (5) ausser M nach n — 2 Punkte mit Rn gemein haben. 

 Eine Ebene, die durch zwei bzw. f^ und g^ naheliegende Erzeuger geht, schneidet 

 also ß" in n Punkten. 



Man bemerke noch, dass wenn ein Erzeuger z. B. / die Kurve in den Punkten 

 Mj M^ ... Ma schneidet, dann alle diese zusammengehörige Punkte in demselben 

 Sinn auf der Kurve laufen müssen. Wenn nämlich M^ in einem bestimmten Sinn 

 lauft, muss auch z. B. M„ dies thun, weil sonst eine Ebene (fg) in speziellen Lagen 

 mehr als n Punkte mit fi" gemein haben würde. Dass aber M^ und M, nicht 



