7 283 



immer in entgegengesetzten Sinn laufen können, folgt daraus, dass Zusammenfall 

 von M^ und M„ ausgeschlossen ist. 



Wir wollen nun untersuchen, ob die hier betrachteten Kurven Doppelpunkte 

 haben können. Hierzu gebrauchen wir den folgenden Hilfsatz: 



Die Tangenten t^ und t, in einem Doppelpunkt einer auf einer (7) 

 Regelfläche liegenden gewundenen Kurve R vom Maximalindex tren- 

 nen die zwei durch gehenden Erzeuger der Fläche. 



Projiciert man nämlich die Kurve auf eine Ebene aus einem Punkt P, welcher 

 in der in berührenden Ebene liegt, aber nicht in einer der Tangenten f, und t^, 

 dann gehen durch das Bild 0' von zwei sich berührende Bögen a' und ß' von C". 

 Diese können nicht beide auf einer und derselben Seite der in 0' beide Bögen be- 

 rührenden Tangente t' liegen, denn dann würde man ersichtlich zwei durch P 

 gehende und {Of) naheliegende Ebenen finden können, von welchen die eine die 

 Kurve in vier Punkten mehr als die andere schneiden würde. Die Bögen a und 

 ß' liegen also auf verschiedenen Seiten von f. Aber /' ist das Bild eines Erzeugers f^ 

 und ebenso eines Erzeugers g^, welche das naheliegende Stück der Fläche in 

 zwei Gebiete zerlegt, von welche das eine — wenn t' horizontal gedacht wird — 

 oberhalb (Of), das andere unterhalb {Of) liegt. Desshalb werden die benach- 

 barten Theile der zwei durch gehenden Kurvenbögen a und ß verschiedenen Ge- 

 bieten angehören, so dass t^ und /,, durch f^ und g^ getrennt sind. 



Jetzt können wir sehen : 



Eine auf einer Regelfläche liegende R", die von keinem Erzeuger (8) 

 der Fläche berührt wird, hat keine Doppelpunkte. 



Denken wir uns die Kurve ß" habe einen Doppelpunkt 0. Es muss dann 

 erstens sowohl p wie q mindestens zwei sein. Durch einen Punkt M^, der in der 

 Nähe von auf einem der durch gehenden Bögen « und ß z. B. auf a gewählt 

 wird, gehen zwei Erzeuger f^ und g,. Diese schneiden den anderen Bogen ß bzw. 

 in zwei Punkten N^ und N.^ Einer obigen Bemerkung zufolge laufen auf der 

 Kurve M^ und N^ und ebenso M^ und N^ in demselben Sinn ; also müssen auch 

 N^ und A',, von aus auf ß in demselben Sinn laufen, d. h. N^ und N.-, müssen 

 auf derselben Seite von liegen. Aber konvergiert nun M^ gegen 0, dann konver- 

 gieren die Gerade Oh\ und ON., gegen die Kurventangenten t^ und t„ in 0, und 

 man sieht, dass /", und g^ gegen Grenzstellungen konvergieren, die beide in einem 

 und demselben durch t^ und t^ bestimmten Winkelraum fallen. Das streitet aber 

 gegen den vorigen Satz (7), so dass unsere Kurve keine Doppelpunkte haben kann. 



Wir wollen nun die zweite Möglichkeit in Betracht ziehen, wo ein Erzeuger 

 der einen Art, sagen wir ein Erzeuger g^, die Kurve R" berührt. Eine beliebige 

 durch g^ gehende Ebene rt schneidet noch in n — 2 von dem Berührungspunkt ver- 

 schiedenen Punkten, und diese müssen auf der Geraden /", liegen, in der « die 

 Fläche noch schneidet. Jeder Erzeuger / hat also in diesem Fall n — 2 Punkte mit 

 der Kurve gemein. Desshalb muss jede durch f gehende Ebene ri ausserhalb f ent- 

 weder keine oder auch zwei Punkte h\ und ;V„ mit R" gemein haben. Diese 



