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Punkte sind gegenseitig eindeutig mit einander verbunden und laufen in entgegen- 

 gesetzten Sinn; das letztere folgt daraus, dass dies der Fall ist, wenn n in der Nähe 

 der R" berührenden Eberne [fg^) ist. Weil desshalb N^ und N„ zwei Mal zuzam- 

 nienfallen müssen, hat man: 

 (9) Berührt ein Erzeuger g die Kurve R", dann giebt es zwei berüh- 



rende Erzeuger g. Jeder Erzeuger /' schneidet R" in n — 2 Punkten, 

 während ein Erzeuger f entweder zwei (getrennte oder zusammen- 

 fallende) Punkte oder auch keinen Punkt mit der Kurve gemein hat. 



Wir können nun beweisen, dass die Kurve Doppelpunkte haben muss. Durch 

 einen beliebigen Punkt M der Kurve geht eine Gerade/', die noch in n — 3 Punkten 

 N^ N^ . . . A^n 3 und eine Gerade g, die noch in einem Punkt P schneidet. Jedem 

 Punkt der Kurve als ein Punkt N aufgefasst entsprechen also n — 3 Punkte P, als 

 ein Punkt P aufgefasst auch n— 3 Punkte N. Wenn wir nun wüssten, dass P 

 immer in entgegengesetzten Sinn von N lauft, dann würden P und N 2 (n — S) Mal 

 zusammenfallen. Aber nach einer früheren Bemerkung lauft M in denselben Sinn 

 wie alle Punkte JV, und lässt man M in einem Berührungspunkt S mit einer Ge- 

 raden g seinen Lauf beginnen, sieht man M und P hier im entgegengesetzten Sinn 

 laufen. Desshalb laufen alle Punkte N im entgegengesetzten Sinn von P. Weil 

 nun jeder Doppelpunkt zweimal als Zusammenfallspunkt zu rechnen ist, hat man : 

 (10) Jede auf einer Regelfläche liegende Kurve R", die von zwei Er- 



zeugern der Fläche berührt wird, hat n — 3 Doppelpunkte. 



Es giebt also zwei mögliche Gattungen von Kurven n-ter Ordnung mit dem 

 Maximal index auf einer Regelfläche zweiter Ordnung. Die eine, die Kurve erster 

 Gattung hat keine Doppelpunkte, jeder Erzeuger des einen Systems schneidet die 

 Kurve in p Punkten, jeder Erzeuger des zweiten Systems in q Punkten, wo p -\- q = n. 

 Ob nun p und q alle mit dieser Bedingung vereinbare Werthe annehmen kann, bleibt 

 bis weiter dahingestellt. Eine Kurve der zweiten Gattung hat n — 3 Doppelpunkte; 

 jeder Erzeuger des einen Systems schneidet dieselbe in n — 2 Punkten, jeder Er- 

 zeuger des anderen Systems in zwei Punkten, oder auch schneidet sie nicht. 



§ 3. Die Projektionen der Kurven. 



Wir wollen nun die Projektionen der von uns betrachteten Kurven auf eine 

 Ebene tt bestimmen, und nehmen erst die Kurven erster Gattung. Den Augen- 

 punkt P wählen wir auf der Regelfläche, aber ausserhalb der Kurve. Sind F und G 

 die Spuren der durch P gehenden Erzeuger f und g, wird die Projektion eine 

 ebene C", F ein p-facher, G ein g-facher Punkt derselben. Sämtliche Tangenten 

 in F sowie in G sind getrennt. Weder durch F noch durch G gehen Tangenten, 

 welche bzw. ausserhalb F und G berühren. Lassen wir einen Punkt einen Theil 

 der Kurve durchlaufen von F aus, bis er wieder in F gelangt, nennen wir den 



