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durchlaufenen Teil einen von F ausgehenden Pseudozweig der Kurve. Die 

 zwei Tangenten derselben in F sind getrennt, indem die Kui-ve sich sonst in ge- 

 trennte Zweige auflöst, was wir auslassen. Der Pseudozweig hat in Feinen 

 Winkelpunkt; von diesen giebt es drei Arten, die ich als Winkelpunkte erster, 

 zweiter oder dritter Art bezeichne (siehe Fig. 1, 2 und 3). Ist / eine durch einen 

 Winkelpunkt gehende Gerade der Art, dass eine / beliebig naheliegende Gerade 

 den Zweig in zwei naheliegenden Punkten schneiden kann, dann nennt man l 

 eine uneigentliche Tangente des Zweiges; / schneidet in diesem Fall den Zweig in 

 zwei in zusammenfallenden Punkten. Eine durch einen Winkelpunkt gehende 

 Gerade, die keine uneigentliche Tangente ist, schneidet den Zweig nur einmal in O. 



Es sei nun (p ein von F ausgehender Pseudozweig, der nicht durch G geht. 

 Dieser Zweig hat ausserhalb F keinen Punkt mit der Geraden FG gemein, und F 

 muss als ein einfacher Schnittpunkt mit dieser Geraden gerechnet werden; GF kann 

 nämlich keine durch G gehende uneigentliche Tangente sein, denn an (p gehen jeden- 

 falls aus G keine andere eigentliche oder uneigentliche Tangente als möglicher- 

 weise GF, aber die letztere kann auch nicht Tangente sein, weil die Zahl der aus 

 einem Punkt an eine Kurve ohne Spitzen gehenden eigentlichen und uneigenllichen 

 Tangenten immer paar sein muss. Die Kurve <p ist also unpaar. Indem wir bis 

 weiter p> q voraussetzen, giebt es sicher solche unpaare Zweige (f. 



Betrachten wir jetzt einen von F ausgehenden Pseudozweig (/j, der durch G 

 geht. Wenn dies der Fall ist, kann man wieder von G aus <p in Pseudozweige 

 zerlegen. Von diesen wird einer und nur einer durch F gehen, weil F ein ein- 

 facher Punkt von </' ist; die übrigen i/\i/'., ■ . . müssen aber unpaar sein, was man 

 ganz so sieht, wie bei den oben genannten Zweigen (p. Ein Zweig es und ein Zweig ç.'',, 

 die weder in F noch in G Punkte mit einander gemein haben, müssen desshalb 

 einander ausserhalb F und G schneiden. Das ist aber unmöglich, denn die Kurve C" 

 hat ausserhalb F und G keine Doppelpunkte. Ein von F ausgehender und G ent- 

 haltender Pseudozweig (/' hat also in G keinen mehrfachen Punkt. Weil ferner 

 GF keine aus G an i^i gehende uneigentliche Tangente sein kann — was man wieder 

 ganz wie oben sieht — muss auch F ein einfacher Schnittpunkt von (/> mit der 

 Geraden FG sein, so dass (/< also eine paare Kurve ist. Runden wir jetzt den Win- 

 kelpunkt F ab, so wie es in Fig. 1, 2, 3 

 durch punktierte Bögen hinreichend deut- 

 lich angegeben ist, erhält man aus (/' eine 

 auch als Tangentengebilde stetige paare 

 Kurve ohne Doppelpunkte, Spitzen und 

 Doppeltangenten; dass durch die Abrun- pj j p. , „. „ 



dung keine neue Doppeltangenten auftreten, 



folgt daraus, dass durch F keine Tangenten an i/i gehen. Eine solche wie gesagt paare 

 Kurve muss aber, wie ich früher angegeben habe, eine Kurve zweiter Ordnung sein '). 



'■] Siehe: Einleitung in die Theorie der ebenen Elementarliuiven. Det Kgl. Danske Vidensk. Selsk. 

 Skrifter, naturv. og math. Afd., XI, 2, 1914, S. 22. 



D. K. D. Vidensk. Selsk SUr.. naluividensk. og muthem. Afd., 8. Hække. II. 5 3fj 



