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Fig. 4. 



Nach Aufhebung der Abrundung bleibt der Zweig immer zweiter Ordnung, erhält 

 aber einen Winkelpunkt in F. 



Betrachten wir jetzt zwei von F ausgehende G enthaltende Pseudozweige ^>^ 

 und (fj^. Die zwei Paare von Tangenten in F an diese Zweige werden einander 

 entweder trennen oder nicht trennen. Runden wir nun die in 

 F auftretenden Winkelpunkte von i}\ und ^''2 ^b, dann er- 

 halten wir im erstgenannten Falle zwei Kurven, die in F — 

 sowie selbstverständlich auch in G — einen einfachen Punkt 

 mit einander gemein haben. Zwei Kurven zweiter Ordnung, 

 die einander in zwei Punkten schneiden, haben aber immer 

 auch zwei Tangenten mit einander gemein, und diese können 

 nicht wieder verschwinden, wenn die Abrundung aufgehoben 

 wird, weil, wie ich wiederhole, durch F keine ausserhalb F 

 berührende Tangenten an é\ oder ip^ gehen. Desshalb kön- 

 nen zwei Kurven (l< nicht vorhanden sein, denn die Kurve C" 

 hat keine Doppeltangenten. 



Wenn im zweiten Fall die zwei Paare von Tangenten in 

 F einander trennen, dann kann man die Abrundungen in F 

 so vornehmen, dass ç'', und il>^ nach der Abrundung keinen Punkt in unmittelbarer 

 Nähe an F mit einander gemein haben. Sie schneiden ober einander in G, und 

 müssen demnach mindestens noch einen Schnittpunkt haben. Das ist aber auch 

 unmöglich, denn C" hat ausser F und G keine mehrfache Punkte. 



Wir haben also bewiesen, dass nur ein von F ausgehender Pseudozweig durch 

 G gehen kann, und dass dieser Zweig zweiter Ordnung ist. 



Bei alledem haben wir freilich vorausgesetzt, dass p>q. Wir haben diese 

 Voraussetzung nur dazu benutzt, um das Vorhandensein von Pseudozweigen ^ zu 

 sichern, die von F ausgeben ohne durch G zu gehen. Wenn das aber nicht der 

 Fall ist, dann wird, eben weil p = q, jeder von F ausgehender und G enthaltender 

 Pseudozweig i/' nur einmal durch G gehen, und dann bleibt alles wie vorhin, aus 

 dem hervorgeht, dass in diesem Fall p^q^l. Wenn wir also den triviellen Fall 

 p^q=^l auslassen, dann ist p^q unmöglich. 

 Wir haben also endlich gefunden: 

 (11) Eine auf einer Regelfläche liegende Kurve n-ter Ordnung vom 



Maxi malindex und ohne Doppelpunkte schneidet jeden Erzeuger des 

 einen Systems in n — \ Punkten und jeden Erzeuger des zweiten Sy- 

 stems in einem Punkt. 



Nehmen wir nun das Projektionscentrum P auf der Kurve selbst; die Projek- 

 tion C"~i ist dann eine Kurve (n — 1) ter Ordnung, die in F einen (n— 2) fachen 

 Punkt hat. Die von F ausgehenden Pseudozweige, sind theils n — 3 unpaare, theils 

 ein paarer, welche durch den Spur P, der in P berührenden Tangente geht. Weil 

 nämlich aus P^ keine Tangente an C"'^ geht, kann man in den obigen Schlüssen 

 G einfach mit P^ ersetzen. Dass der paare Zweig zweiter Ordnung ist, haben wir 



