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schon gesehen. Aber es ist wesentlich noch hinzu zu fügen, dass jeder unpaarer 

 Zweig dritter Ordnung ist. Hätte nämlich eine derselben 4 Punkte mit einer Ge- 

 raden gemein, dann würde diese mit der ganzen Kurve C" ^ wenigstens 4-l-n — 4^/j 

 Punkte gemein haben. Man hat also: 



Die Projektion einer auf einer Regelfläche liegenden Kurve n-ter (12) 

 Ordnung vom Maximalidex und ohne Doppelpunkte aus einem Punkt 

 der Kurve hat in einem Punkt Feinen (n^ 2) fachen Punkt und kann 

 in (n — 3) von F ausgehende Pseudozweige dritter Ordnung und einen 

 Pse udozweig zweiter Ordnung zerlegt werden. 



Wir gehen nun zu den Kurven R" mit Doppelpunkten über. Hier ist die Sache 

 insofern wesentlich einfacher, als wir in diesem Fall im Voraus wissen, dass alle 

 Erzeuger des einen Systems, sagen wir alle Erzeuger / die Kurve in n — 2 Punkten 

 schneiden, während ein Erzeuger g entweder keinen, oder auch zwei Punkte mit fi" 

 gemein hat. Wir wollen die Projektion C""' der KurVe aus einem Punkt P der Kurve 

 selbst untersuchen. Dieselbe hat in der Spur F des durch P gehenden Erzeugers 

 /", einen (n — 3) fachen Punkt, und geht sowohl durch die Spur G des durch P 

 gehenden Erzeugers G, sowie auch durch die Spur P^ der in P berührenden Tan- 

 gente. Indem wir nun wie früher C"~' in Pseudozweige zerlegen, die von F aus- 

 gehen, wird von diesen ein Pseudozweig durch G und ebenso ein durch P^ gehen. 

 Wir können aber zeigen, dass diese zwei zusammenfallen müssen. Aus G geht 

 nämlich, weil kein /die Kurve berührt, keine andere eigentliche Tangenten an C"~^ 

 als die zwei zusammenfallenden, die in G berühren. Weil nun jedenfalls die Zahl 

 der aus einen Punkt gehenden (eigentlichen und uneigentlichen) Tangenten paar sein 

 muss, kann die Gerade GF keine uneigentliche Tangente in F sein, d. li. es soll F 

 als Schnittpunkt der Geraden GF mit einer beliebigen der genannten Pseudozweige 

 als ein einfacher Schnittpunkt gerechnet werden. 

 Die Punkte F, G und Pj liegen in einer Geraden. 

 Wenn nun der durch G gehende Pseudozweig ç?j 

 nicht durch P^ gehen würde, dann wäre <f^ paar 

 und alle übrigen Pseudozweige unpaar. Wenn also 

 tfj nicht durch Pj geht, wird eine durch P^ gehende 

 und F naheliegende Gerade <f^ in zwei Punkten, 

 den durch P^ gehenden unpaaren Pseudozweig in 

 mindestens drei Punkten und die übrigen in min- 

 destens n — 5 Punkten schneiden. Das ist aber un- 

 möglich, weil C"~i (n — 1) ter Ordnung ist. Der 

 Zweig ^j geht also durch beide Punkte G und P^ 

 und muss auch unpaar sein. C"~^ lässt sich also 

 in n — 3 unpaare von F ausgehenden Pseudozweige 

 zerlegen, und alle diese müssen dritter Ordnung sein; 



eine Gerade, die vier Punkte mit einem der Zweige gemein hätte, würde nämlich 

 4-l-n — 4 = n Punkte mit C"~' gemein haben. Aber wir sehen nochmehr, dass der 



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Fig. 5. 



