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durch G und Pj gehende Pseudozweig einen Doppelpunkt haben muss. Aus einem 

 beHebigen Punkt M einer Kurve dritter Ordnung <p gehen nämlich, wenn keine 

 Winkelpunkte oder Doppelpunkte vorhanden sind, immer zwei Tangenten an <p, 

 welche (wenn M kein Inflexionspunkt ist) ausserhalb M berühren. Hier hat die 

 Kurve ^j freilich einen Winkelpunkt F, aber MF ist nur einmal als uneigentliche 

 Tangente zu rechnen. Weil nun aus G keine ausserhalb G berührende Tangente 

 an ^, gebt, muss diese einen Doppelpunkt haben, und G auf dem ^r, zugehörigen 

 Oval liegen. Aber dann muss auch P^ auf dem Oval liegen, weil F jedenfalls dem 

 Oval nicht angehören kann. Kein anderer Zweig als <p^ kann einen Doppelpunkt 

 haben denn die Verbindungssgraden zweier solchen würde 4 + 2-f-n — 5 = n-(-l 

 Punkte mit C" ^ gemein haben. 

 Wir haben also bewiesen: 

 (V^) Die Projektion einer auf einer Regelfläche liegenden Kurve 



71 -ter Ordnung vom Maximalindex und m it Doppelpunk ten aus einem 

 Punkt der Kurve hat einen n — 3 fachen Punkt Fund lässt sich in n — 3 

 von F ausgehende Pseudozweige dritter Ordnung zerlegen, von 

 welchen ein und nur ein einen Doppelpunkt hat. 



§ 4. Die charakteristischen Zahlen der Kurven. 



Die charakteristischen Zahlen einer Elementarkurve sind dieselben, die man 

 die Plückerschen Zahlen der algebraischen Kurven nennt, wenn man nur reelle 

 Elemente in Betracht zieht. Die Klasse ;i' ist also die grösste Zahl der 

 durch einen Punkt des Raumes gehenden oskulierenden Ebenen; ebenso sind Ord- 

 nung n, Rang r und h zu definieren; h ist die grösste Zahl der durch einen Punkt 

 des Raumes gehenden Doppelsekanten. Zugleich werde ich im folgenden angeben, 

 welche Werthe kleiner als den Maximalwert!! die angegebenen Zahlen annehmen 

 können. Die Zahlen lassen sich für die algebraischen Kurven einfach aus der in 

 der Einleitung genannten Abhandlung von Miss Angas Scott ableiten; es zeigt sich 

 aber sehr hübsch, dass ihre Bestimmung von dem algebraischen Charakter der 

 Fläche gänzlich unabhängig ist. 



Wir wollen zuerst die Zahl der durch einen Punkt P gehenden Doppelsekanten 

 finden, und müssen uns demnach erst klar machen, wo und wie sieh diese Zahl mit 

 der Lage von P ändert. Hier wo keine doppel umgeschriebene Devellopable und 

 keine hyperoskulierende (stationäre) Ebene vorhanden ist, kann die Zahl sich nur 

 ändern, wenn P die Tangententläche der Kurve entweder in einem allgemeinen 

 Punkt oder in einem Punkt M der Kurve R" überschreitet. Die Tangente in M 

 nennen wir m. Durch Überschreiten der Tangentfläche in einem nicht in R" lie- 

 genden Punkt, wird eine durch P gehende Doppelsekante gewonnen oder verloren, 



