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wie wir früher in § 1 gesehen haben. Lassen wir nun P die Kurve in einem 

 Punkt M überschreiten, indem P sich z. B. einer Geraden / entlang fortbewegt. 

 Jene Doppelselianlen, deren Schnittpunkte mit der Kurve beide in endliclier Ent- 

 fernung von M liegen, werden hierdurch nicht gestört. Aber jene Doppelsekanten, 

 von deren Schnittpunkten mit R" der eine gleichzeitig mit P nach M konvergiert, 

 werden nacli jenen Geraden konvergieren, die M mit den von M verschiedenen Schnitt- 

 punkten der Kurve mit der Ebene {Im) verbinden. Ebenso viele Doppelsekanten 

 trennen sicli aus, wenn P einer Geraden / entlang sicli, in dem einen oder in dem 

 anderen Sinn, von M entfernt. Ersetzt man / dnrcli die Tangente m, hat man die 

 Ebene (Im) durch die in M oskulierende Ebene zu ersetzen. 



Denken wir uns nun P auf der Kurve /?" liegend, und betrachten wir erst 

 die Kurve ohne Doppelpunkte. Durch P geht dann eine (;i — 2) fache Doppel- 

 sekante und keine andere Doppelsekanten. Geht nun P von der Kurve aus einer 

 Tangente m entlang, trennen sich J (n — 2) (n — 3) Doppelsekanten aus; aber dazu 

 kommen nocli n — 3 neue Doppelsekanten, weil die in M oskulierende Ebene aus- 

 serhalb M noch n — 3 Punkte mit /?" gemein hat. Man erhält so, wenn man die 

 durch P gehende Tangente m nicht mitrechnet, V (n — 2) (n — 3) -f- /j — 3 = 



I n (n - 3) 



Doppeltangenten aus einem Punkt der Tangentenfläche. Weil P dem früheren zu- 

 folge aus einem beliebigen Punkt des Raumes zur Tangentenfläche gelangen kann, 

 oder dass dabei sich die Zahl der durch P gehenden Doppelsekanten ändert, hat 

 man also: 



Aus einem beliebigen Punkt des Raumes geli en an eine /?" ohne (14) 

 Doppelpunkte entweder \ n (n — 3 ) oder a u c h i n ( /i — 3 ) + 1 Doppel- 

 sekan ten. 



Betrachten wir nun die Kurve /?" mit Doppelpunkten. Hier ist der einzige 

 Unterschied vom obigen der, dass man den n — 2 fachen Erzeuger durch einen 

 n — 3 fachen zu ersetzen hat. Man erhält so i (n — 3) (n — 4) -[- " — 3 = 



\ (/, - 3) (n - 2) 



Doppeisekanten, die durch einen allgemeinen Punkt der Tangentenfläche gehen. 

 Also hat man: 



Aus einem beliebigen Punkt des Raumes gehen an eine ß" mit (15) 

 Doppelpunkten entweder i (n — 2j (n — 3) oder auch J (/i — 2) (n — 3) + 1 

 Doppelsekanten. 



Die Projektion der Kurve fi" hat also dieselbe Zahl von Doppelpunkten, 

 gleichviel, ob /i" im Räume Doppelpunkte hat oder nicht. 



Wir wollen nun die Zahl e' der durch einen Punkt P gehenden Oskulationsebenen 

 bestimmen. Aus dem in § 1 gesagten folgt, dass eine Änderung in der Zahl e' nur 

 durch Überschreiten der Tangentenfläche ausserhalb der Kurve stattfinden kann. 

 Betrachten wir nun erst die Kurve ohne Doppelpunkte. Die Projektion derselben 

 aus einem Punkt der Kurve haben wir früher in ;i — 3 von einem Punkt F aus- 



