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gehende Pseudozweige dritter Ordnung und einen Pseudozweig zweiter Ordnung zer- 

 legt. Alle diese haben in F einen Winkelpunkt. Es giebt aber, wie schon oben be- 

 merkt, drei Arten von Winkelpunkten. Rundet man dieselben ab, so wie es in 

 Fig. 1, 2, 3 (S. 9) durch punktierte Bögen angedeutet ist, so enstehen in der Nähe 

 von F zwei Inflexionspunkte, wenn der Winkelpunkt erster Art ist, einen, wenn der 

 Winkelpunkt zweiter, aber keinen, wenn dieser dritter Art ist. Weil nun eine stetige 

 und geschlossene Elementarkurve dritter Ordnung ohne Doppelpunkte und Winkel- 

 punkte immer drei Inflexionspunkte hat, wird eine Kurve dritter Ordnung mit einem 

 Winkelpunkt erster, zweiter oder dritter Art bzw. einen, zwei oder drei Inflexions- 

 punkte haben. Ferner sieht man, dass aus F an die Kurve dritter Ordnung ent- 

 weder keine, eine oder zwei ausserhalb F berührende Tangenten gehen, jenachdem 

 F ein Winkelpunkt erster, zweiter oder dritter Art ist. 



Man sieht nun, dass in unserem Fall der Punkt F ein Winkelpunkt erster Art 

 auf jedem Pseudozweig sein muss, denn aus F gehen keine Tangenten an C"~' und 

 also auch keine an einen Zweig von C"~i. Weil der Zweig zweiter Ordnung keinen 

 Inflexionspunkt haben kann, wird C"^> also n — 3 Inflexionspunkte haben. Aus 

 einem Punkt M der Raumkurve R" gehen also n — 3 ausserhalb M berührende osku- 

 lierende Ebenen. Wenn nun ein Punkt P sich von M aus auf der in M berüh- 

 renden Geraden hi bewegt, treten im ersten Augenblick eine neue Oskulations- 

 ebene hervor; man sieht dies sogleich, wenn man durch m eine R" nicht oskulie- 

 rende Ebene fx Hegt, denn der Schnitt von // mit der Tangentenfläche der Kurve 

 hat in M einen Inflexionspunkt. Aus jedem allgemeinen Punkt P der Tangenlen- 

 fläche gehen desshalb, wenn die in enthaltende oskulierende Ebene nicht mit- 

 gerechnet wird, n — 2 oskulierende Ebenen. Weil man nun aus jedem Punkte des 

 Raumes an die Tangentenfläche ohne Änderung von e' gelangen kann, ist e' überall 

 entweder n oder n — 2. 



Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn R" Doppelpunkte hat. Der Unter- 

 schied ist nur der, dass hier die Projektion der Kurve aus einem Punkt derselben, 

 sich in n — 3 von F ausgehenden Pseudozweige zerlegt. Von diesen hat der eine ctj 

 einen Doppelpunkt und einen Winkelpunkt F aus dem zwei ausserhalb F berüh- 

 rende Tangenten gehen. Es hat dann cTj einen Inflexionspunkt, und die übrigen 

 auch je einen, was man ganz wie im ersten Fall sieht. Man hat also: 

 I6i Au seinem Punkt desRaumes gehen an dieKurve entweder n oder 



n~2 oskulierende Ebenen, gleichviel ob die Kurve Doppelpunkte 

 hat oder nicht. 



Endlich wollen wir die Zahl r der Kurventangenten finden, welche eine Ge- 

 rade / des Raumes schneiden, und betrachten die Kurve ohne Doppelpunkte: 



Erstens nehmen wir an, dass / durch einen Punkt M der Kurve 

 geht. Die Projektion C"~^ derselben aus M auf eine Ebene - kennen wir, und es 

 kommt darauf an die Klasse von C"~' zu bestimmen. Wenn aber ein Punkt Q 

 sich in n bewegt, kann die Zahl der durch P gehenden Tangenten sich nur dann 

 ändern, wenn Q entweder C" ' oder eine Wendetangente derselben überschreitet. 



