15 291 



Aus einem Punkt Qj im Inneren des paaren Pseudozweiges gehen keine Tangenten 

 an C" ' — eine solche würde 2 + 3-rn — 5 = n Punkte mit C"~> gemein haben. 

 Verbindet man Q^ mit einem beliebigen Q von ti durch eine Gerade p, schneidet 

 diese die Kurve in n — 1 Punkten und die Wendetangenten derselben in n — 3 

 Punkten. Wenn Q der Geraden / entlang von Q^ ausgeht und wieder zu (>, zurück- 

 kommt, mögen x Mal zwei durch Q gehende Tangenten gewonnen und y Mal zwei 

 verloren werden. Man hat dann 



X — y ^ 0, X ^ y = 2n — 4, 



also x- = y = n — 2. Die grösste Zahl den r durch Q gehenden Tangenten erhalt man, 

 wenn die x Schnitpunkte auf einander folgen; man hat also r <2n — 4. Aber dieses 

 Maximum kann auch erreicht werden. Den Punkt Q^ innerhalb des paaren Zweiges 

 können wir nämlich so nahe an F wählen, dass es einen Sinn hat zu sagen, dass Q^ 

 auf der konvexen oder auf der nicht konvexen Seile eines durch F gehenden Kurven- 

 bogens liegt. Durch einen Punkt in der Nähe eines Kurvenbogens auf dessen kon- 

 vexen Seite gehen zwei Tangenten an den Bogen, sonst keine. Durch Q^ gehen nun 

 keine Tangenten an C" ', und Q^ muss deshalb auf der nicht konvexen Seite jedes 

 durch F gehenden Bogens liegen. Der zu Q, in Beziehung zu F symmetrische Punkt 

 Q., liegt desshalb auf der konvexen Seite der Bögen, und durch Q„ gehen demnach 

 2n — 4 Tangenten an C^'. Drehen wir die Gerade Q„F einen kleinen Winkel um 

 Q, in l.,, dann wird ein Punkt P, indem er die Gerade /., durchläuft, jeden durch 

 F gehenden Bogen einmal schneiden, und man sieht, dass durch P 2, 4, 6 . . . 2n — 4 

 Tangenten an C" ^ gehen, jenachdem Feinen, zwei . . . oder auch n — 2 Kurvenbögen 

 überschritten hat. Indem wir die Gerade Q^M einen kleinen passend gewählten 

 Winkel um Q.^ drehen, sieht man, dass es Gerade des Raumes giebt, die von 2, 4 ... 2 n — 2 

 Kurventangenten geschnitten werden. 



Zweitens betrachten wir eine in einer o s k n 1 i e r e n d e n Ebene n 

 liegende Gerade /. Diese möge die in /j. liegende und in M berührende Tan- 

 gente in einem Punkt N schneiden. Die Ebene fi schneidet R" ausser in M noch 

 in n — 3 anderen Punkten M^, M., . . . M„ 3, und durch N gehen infolge (16) ausser 

 /i nach n — 3 oskulierende Ebenen /i] ,«., • . -/Jn-s- Wir drehen jetzt in « eine Ge- 

 rade / um N. Die Zahl der / schneidenden Tangenten kann sich nur ändern, 

 wenn / entweder eine der Geraden NMr oder eine der Geraden (////r) überschreitet, 

 und zwar werden hierdurch entweder zwei schneidende Tangente gewonnen oder 

 verloren. Indem / sich 360"^ um N dreht, mögen an x Stellen zwei schneidende 

 Tangenten gewonnen und an y Stellen verloren werden. Man hat dann 



X — y = 0, X ~\- y = 2 n — 6, 



also X = n — 3. Weil nun die Projektion von R" aus N eine Spitze im Bilde von 



M haben wird, sieht man, dass eine in fi liegende Gerade ausser / höchstens 

 2 (n — 3) -}- 2 Tangenten der Kurve schneiden kann. 



Es sei endlich l eine beliebige Gerade des Raumes. Durch / lege man eine 



