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feste Ebene /, in / wähle man einen festen Punkt N. Drehen wir eine Gerade l 

 in Å um N, kann die die Zahl der / schneidenden Tangenten sich nur dann 

 ändern, wenn / entweder ein Verbindungsgrade von N mit einem Schnittpunkt 

 von /?" mit Å, oder wenn sie eine durch N gehende oskulierende Ebene über- 

 schreitet. In jedem diesen Fällen geht aber dem obigen zufolge die genannte 

 Zahl entweder von 2n — 4 zu 2n — 2 —oder umgekehrt - oder auch sind die 

 Zahlen kleiner. Hieraus folgt, dass keine Gerade / des Raumes mehr denn 

 2/1 — 2 Tangenten der Kurve schneidet. 



Die Kurve mit Doppelpunkten lässt sich mit geringfügigen Änderungen ganz 

 ebenso behandeln. Man muss nur den oben mit Q bezeichneten Punkt, der dort 

 innerhalb des paaren Zweiges gewählt war, hier innerhalb des Ovales eines von F 

 ausgehenden unpaaren Zweiges wählen. 



Man hat also: 

 (17) Eine Gerade des Raumes schneidet höchstens 2» — 2 Tangenten 



der Kurve; es giebt aber Gerade, welche von 0, 2, 4, 6...2n — 2 Kurven- 

 tangenten geschnitten werden. 



Die zwei ganz verschiedenen Gattungen von Kurven n-ter Ordnung vom 

 Maximalindex auf einer Regelfläche zweiter Ordnung haben also dieselbe Klasse und 

 denselben Rang. 



§ 5. Die Existenz der Kurven. 



In § 2 haben wir die zwei möglichen Galtungen von Kurven n-ler Ordnung 

 vom Maximalindex angegeben, die auf einer Regelfläche zweiter Ordnung liegen 

 können. Aber wir mangeln nach die umgekehrten Sätze darzuthun, nämlich: 



(18) Jede auf einer Regelfläche zweiter Ordnung liegende Kurve 

 n - 1 e r O r d n u n g , d i e V o n j e d e m E r z e u g e r /" d e n e i n e n S y s t e m s inn — 1 

 Punkten geschnitten wird, ist vom Maxi malin (lex 



und 



(19) Jede auf einerRegel fläche zweiterOrdnung liegende Kurve /i -ter 

 Ordnung, die von jedem Erzeuger /'des einen Systemsinn — 2 Punkten, 

 und von jedem Erzeuger des anderen Systems entweder in zwei 

 Punkten oder auch in keinem Punkt geschnitten wird, hat den M a x i - 

 ma lind ex. 



Man hat um diese Sätze zu beweisen nur zu zeigen, dass zwei Tangenten 

 mit getrennten Berührungspunkten einanden nicht schneiden können, und dass die 

 Kurve keine hyperoskulierende Ebene haben kann. 



Betrachten wir erst eine Kurve R" der ersten Gattung und bilden wir die 

 Projektion C"-^ derselben aus einem Punkt P der Kurve. Diese hat in dem oft 



