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früher genannten Punkt F einen n — 1-fachen Punkt und geht einmal durch die 

 Spur Pj der in P berührenden Geraden. Aus dem auf der Geraden FP^ liegenden 

 Punkt G gehen keine Tangente an C"^', desshalb wird die Gerade GF keine un- 

 eigentliche Tangente an irgend eine der von F ausgehenden Pseudozweige sein. 

 Aus den Entwickelungen in § 3 folgt dann, dass alle diese Pseudozweige unpaar 

 und zwar dritter Ordnung sind mit Ausnahme des einen, durch Pj gehenden. Dieser 

 letztere muss zweiter Ordnung sein, und aus Pj kann keine Tangente an C"~' gehen, 

 weil eine solche mehr denn n — 1 Punkte mit C"^ gemein haben würde. Die Tan- 

 gente in P kann also keine andere nicht in P berührende schneiden. Ferner kann 

 Pj kein Inflexionspunkl sein, weil dieser Punkt auf einem Pseudozweig zweiter 

 Ordnung liegt; es^kann desshalb in P keine hyperoskulierende Ebene berühren. 



Die Kurve R" der zweiten Gattung lässt sich ganz ebenso behandeln, denn 

 die Bestimmung der Projektion C"^^ derselben aus einem Punkt P der Kurve wurde 

 in § 3 ganz unabhängig von einer Voraussetzung über den Index geführt. Dess- 

 halb liegt die Spur P^ der Tangente in P auf einem Oval eines Pseudozweiges dritter 

 Ordnung und aus Pj kann keine Tungente an C"~' gehen, weil eine solche mehr 

 denn ;j — 1 Punkte mit C"~' gemein haben würde. Dass /?" auch hier keinen sta- 

 tionären Punkt haben kann, sieht man ganz wie im ersten Fall. 



Die Sätze, (18), (19) sind nun vollständig bewiesen. 



Alles, was wir bis jetzt in dieser Arbeit gesagt haben, ist von dem algebraischen 

 Charakter der Kurven unabhängig. Jetzt wollen wir uns bis weiter an den alge- 

 braischen Gebilden halten, und in diesem Fall die Existenz der oben genannten 

 Kurven vom Maximalindex darthun. Wir werden dabei eine Kurve fi" als Schnitt- 

 kurve einer Regellläche zweiter Ordnung und einer Kegelfläche autYassen. Das 

 Centrum der letzteren liegt auf der Regelfläche und deren Spur ist eine der im 

 vorigen betrachteten Kurven C"^. Diese sind Kurven (n — l)-ter Ordnung und 

 haben in einem Punkt F einen mehrfachen Punkt der (n — 2)-ten oder der (n — 3)-ten 

 Ordnung jenachdem wir eine Kurve R" der ersten oder der zweiten Gattung in 

 Betracht ziehen. Die besondere Eigenschaft, die man noch von den Kurven C"~* 

 zu verlangen hat, ist die, dass sie keine Doppeltangenten haben müssen. Aber aus 

 den Entwickelungen in § 3 folgt, dass die Zerlegung einer C" ' in Pseudozweige 

 dritter oder zweiter Ordnung sich durchführen lässt, wenn nur die Existenz eines 

 solchen Punktes G feststeht, dass aus G keine ausserhalb G berührende Tan- 

 genten gehen. 



Betrachten wir nun erst die Kurven erster Gattung. Hier hat man für n = 3 

 schon eine gesuchte Kurve C"^ in einem Kegelschnitt. Denken wir nun, wir haben 

 schon eine Kurve (n — l)-ter Ordnung mit den gewünschten Eigenschaften. Die- 

 selbe hal einen (n — 2)-fachen Punkt F, und es existiert ein Punkt G ausserhalb 

 der Kurve, aus dem keine Tangenten an C" ' gehen. Aus dieser Kurve können 

 wir durch eine Transformation eine Kurve n-ter Ordnung mit denselben Eigen- 

 schaften ableiten: Man braucht nämlich nur eine involutorische kvadratische Trans- 



I). K. D. Vldensk. Selsk. Ski-., naturvidensk. og mathem. Md., 8. Række. 11.5. 39 



