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formation erster Art') zu applizieren, deren Hauptpunkte F, G und ein beliebiger 

 ausserhalb C"^' gewählter Punkt sind. 



Die Projektion einer Kurve /?" zweiler Gattung aus einem Punkt der Kurve 

 hat man für n ^ 3 in einer beliebigen ebenen Kurve dritter Ordnung mit einem 

 Doppelpunkt, indem man F in dem unpaaren Pseudozweig und G in dem Oval der 

 Kurve wählt. Hat man nun eine Kurve C"~' mit den genannten Eigenschaften, 

 dann existiert auf der Kurve ein Punkt G, aus dem keine ausserhalb G berührende 

 Tangenten gehen. Transformiert man diese Kurve durch eine involutoriske kva- 

 dratische Transformation ganz wie im ersten Fall, dann erhält man eine Kurve 

 n-ter Ordnung mit den gewünschten Eigenschaften. 



Ist nun P ein beliebiger Punkt im Räume, und legt man eine Regellläche 

 zweiter Ordnung durch PF und PG, wird diese von der Kegelfläche (P • C" >) in 

 einer Kurve n-ter Ordnung vom Maxinialindex. 



Offenbar erhält man so jede solche Kurve auf einer Regelfläche zweiter Ordnung. 



Wenn man eine auf einer Regellläche <p liegende algebraische Kurve vom 

 Maximalindex hat, dann kann man oflenbar aus ihr eine nicht analytische vom 

 Maximalindex ableiten. Man braucht nur einen Elementarbogen « der algebraischen 

 Kurve durch einen ganz beliebigen auf (/> liegenden und dem Restbogen ß sich an- 

 schmiegenden Bogen «' zu ersetzen, wobei man nur zu beobachten hat, dass keine 

 Tangente an «' eine Tangente an a oder an ß schneidet. Weil eine Tangente an 

 a und eine an ß einander nicht schneiden, ist diese Bedingung leicht zu befriedigen. 



Es existieren also sicher auch nicht analytische Kurven ß" n-ter Ordnung vom 

 Maximalindex auf einer Regelfläche zweiter Ordnung. 



Besonderes Interesse knüpft sich an die analytischen Kurven R", die nicht 

 algebraisch sind. Hier sind doch die Schwierigkeiten der Herstellung grösser, und 

 nur für n=3 und n == 4 kommt man leicht durch. Für n^3 hat man ein Oval 

 zu finden, das von jedem durch einen Punkt F des Ovales und einen Punkt G aus- 

 serhalb desselben gehenden Kegelschnittes ausser in F naeh höchstens in drei 

 Punkten geschnitten wird. Ein solches Oval erhält man aber mittelst eines ellip- 

 tisch gekrümmtes Oval. Ein solches hat mit jedem Kegelschnitt, der durch einen 

 unendlich fernen Punkt geht, höchstens vier Punkte gemein. Durch eine lineare und 

 duale Transformation derselben erhält man also eine Kurve zweiter Ordnung, die mit 

 jedem durch einen inneren Punkt der Kurve gehenden Kegelschnitt höchstens vier 

 Tangenten und also auch höchstens vier Punkte gemein hat. Aus diesem Oval er- 

 hält man die Kurve C'', welche zur Herstellung der Raumkurven /?' zu benutzen 

 sind, milleist den oben genannten kvadratischen Transformationen, aber ohne neue 

 Ansätze kann man nicht weiter kommen. 



') d. h. eine kvadratische Transformation, wo jedem Hauptpunkt die gegenüberliegende Seite des 

 Haiiptdreiecks entspriclit. 



