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de sorte que les formules (12) et (17) donnent, pourvu que la fonction f\x) qui 

 figure dans les équations aux différences finies (1) et (13) soit la même, la relation 

 intéressante 



< n <£Lil 



= 2 = 2 



-,o. V (-!)»-■ fcn.n-a5 ^ V^ (-l)^-ta„,„_, ^ 



s = 1 s = 1 



Appliquons maintenant la formule (2) du paragraphe G, nous aurons, en vertu 

 de (15): 



(19) (2p+ 1)« •^(-l'Vfa'pIni) =^V n + »s! (2/;+l)"-^^s(a,-). 



Supposons que les polynômes qui figurent aux seconds membres des équations 

 aux différences finies (1) et (13) ne forment pas des suites harmoniques, nous trou- 

 vons des formules nouvelles en différentianl plusieurs fois par rapport à x les deux 

 formules (2) et (15). 



Les difficultés qui se présentent dans l'application des méthodes susdites sont 

 évidentes. 



En effet, il faut connaître : 



1 " La valeur de f{x) pour des valeurs particulières de l'argument x 



2" Les coefficients a„ ,, respectivement /»„s qui figurent au second membre 

 de la formule (Ij respectivement de la formule (13) 



3° La constante X') qui figure dans le développement (2). 



Cette dernière difficulté est écartée dans le cas où f{x) est l'élément général 

 d'une suite harmonique. 



En effet, dans ce cas il existe deux bases [o„] et [6„], telles que nous aurons: 



^^^' ""•'' ^ (n-p-1)! ' ^"'^ ^ {n-p)\ ' 



et le théorème II du paragraphe 2 donnera de même: 



(21) K = an. 



Dans le cas où f(x) est l'élément général d'une suite harmonique, nous ne 

 trouvons pas de formules nouvelles en dilférentiant par rapport à x les formules (2) 

 respectivement (15). 



') Posons f{x) = An, x» + A«, i a;«-! + ... + Av, n- i x + An, n , 



nous aurons pour K l'expression suivante 



s = n 



^ Il — S+Ï 



