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§ 8. Sur une équation fonctionnelle. 



Dans un cas, essentiel pour les recherches qui nous occupent ici, nous con- 

 naissons dès à présent les coefficients «„, ., et /?„,« qui figurent aux seconds membres 

 des équations aux différences finies 



s = ;i — 1 



(1) fix) - f{x-l) -^^«n, s a;"-^-' , 



s = 



s = H 



(2) fix) + f(x-l) =^ßn, s X" - * , 



s = 



pourvu (jue le polynôme du degré n par rapport à x 



s = n 



(3) fix) =y^ an,sx''-' 



s = 



soit donné. 



C'est dans le cas où fix) satisfait à l'équation fonctionnelle 



(4) (--l)"/(-æ-l) = fix). 



En effet, changeons dans (4) le signe de x, nous aurons, en vertu de (3): 



S = I l 



fix~l) = i-ï)"f(~x) =^'(— l)»a„,,x"-', 

 ce qui donnera immédiatement: 



(5) fix) ~ fix— 1) = 2 •^a„.2s+ix^'-^^-' , 



s = 



(6) fix) 4 fix-1) = 2 ■^a„,2,æ"-2», 



s = 



de sorte que ces deux conditions sont certainement nécessaires pour que le poly- 

 nôme fix), définie par la formule (-3), satisfasse à l'équation fonctionnelle (4). 



Inversement, prenons pour point de départ les deux équations aux différences 

 finies (5) et (6) , les théorèmes I du paragraphe 2 et 111 du paragraphe 3 donnent 

 respectivement ces deux développements: 



<v 



(7) l fix) = Kn -{-^ a„, ,,,+ , (n-2s-l) ! <p„-2s ix) , 



s = 



(8) 2 1'^^^ ^^ rt,<,2,("-2s)!^„-2,v(.-K)- 



s = 



<nzi 



.v = 



