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Cela posé, appliquons le théorème I du paragraphe 5, nous aurons en vertu 

 de (8): 



I. L'équation aux différences finies (6) représente la condition 

 suffisante et nécessaire pour que le polynôme entier f{x), défini par 

 la formule (3), satisfasse à l'équation fonctionnelle (4). 



Quant à la condition nécessaire (5), elle n'est suffisante que dans le cas où le 

 degré n de f{x) est un nomjjre pair. Soit, au contraire, n un nombre impair, il 

 faut, en vertu de (7), ajouter la condition ultérieure 



(9) Kn = 0; 



car l'équation (4) donnera, pour n impair: 



et nous aurons de même : 



f2m + I 



(-i) 



0. 



Ordonnons maintenant selon des puissances descendantes de x le second 

 membre de (7), nous aurons : 



2 



(10) 



«n, 



(- 



i.n-i/''". 2p a„ 2p + i \ 1 \ / A\,( n — 2s — \\r, 



^^' \ 2 -~l^::^.p)-=l^=2p-2.^-^^\ 2p~2s jf^n-so,,..,!, 



s ^ 



Tp-s + \ a», 2s- 



tandis que la formule (8) donnera de même: 



(11) (-l)Pa,, 2P + , ^^ 2^3^ {2p"~2s%l) 



s = 



On voit que les deux systèmes d'équations linéaires (10) et (11) entre les coef- 

 ficients a„,p sont inverses l'un à l'autre. 



Dans le cas où n est un nombre pair, on voit que le dernier coefficient a„, „ 

 de f{x) ne figure dans aucune des formules (10) et (11); c'est-à-dire que nous pou- 

 vons donner à ce coefficient une valeur arbitraire. 



L'application des formules (5) et (6), ou, ce qui est la même chose, des for- 

 mules (7) et (8) à la théorie des nombres de Bernoulli et d'EuLER est évidente et 

 se présente immédiatement en vertu des développements du paragraphe 7. 



On voit du reste que les formules (7) et (8) sont, à ce point de vue, moins 

 générales que les formules correspondantes (2) et (15) du paragraphe 7; car les 

 deux premières formules ne nous donnent que des formules récursives qui corres- 

 pondent à une valeur paire ou impaire de n , tandis que les deux dernières don- 

 neront de telles formules, quelle que soit la parité de n. 



Soient maintenant 



(12) «i, «2, ttg, . .., «„ 



n. K. 1). Vidcnsli. Selsk. Slir., 7. Ha-Ukc. n.iluividcnsk. .);■ miitlicm. Afd. X. 3. 40 



