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les racines de l'équation algébrique 



fix) = , 

 où f(x) est le polynôme qui figure dans les formules (3) et (4), et soit «s une des 

 racines (12) qui n'est pas égale à — y ; il existe une autre racine ur, telle que 



(13) «s = — 1 — «r. 



Cela posé, désignons par m un positif entier quelconque, il est évident que 

 les polynômes entiers 



s = 1 



(jui forment une suite harmonique satisfont aux équations fonctionnelles 



(-l)'"F,„(-a;-l) = F,n{x). 

 Posons ensuite pour abréger 



(15) So= n , Sr = «[■ + a^' + . . . + «„'' , 



(16) /,. = (I + a,y+ (1 4 «2)'+ • • • + ( 2 + ««)'' 

 nous aurons évidemment: 



(17) /2r+l - 0, 



tandis que la formule (14) donnera: 



g = ni 



t,„W ^ (m — g)! ' 



c'est-à-dire que nous aurons les deux développements 



( 18) l F,„ (X) = -^ WfHV- ^"' -=^ ^^'^ ' 



,.„ (2,f] 



<2 



(19) y F„(x) =^ 2 J , ^„, 2^{x) 



^0 (2^)' 



Remplaçons maintenant, dans ces deux formules, m par 2m respectivement 

 par 2m 41, puis posons x = 0, nous aurons respectivement: 



q = m — l 

 (20) (-l)"'^m + J )s2,„ f S2m + l) -^^(-l)9(^2^+,^)s2,+ ,ß,„-,,, 



7 = 



q = m 



(21) (-l)'"-'5,„, + i = ^ 02,.. 2a|lC 7r, jS'i'/'^m-g+I, 



9 = 



formules qui sont analogues à (10) respectivement (11). 



