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Remplaçons ensuite, dans (18) et (19), m par 2m, puis posons .r =^ — — , nous 

 aurons de même: 



<y — m — 1 



(22) (-i).n-.(,„„^, + (,„+_! ),,„.^ -2^(^^y'(^tiY'i^^^^ '^^"'-'" 



q =in — 1 

 q=0 



Il est très facile du reste de généraliser beaucoup les formules de ce genre. 



,^ 9. Les suites parfaites et les formules récursives. 



Nous désignons comme parfaite une suite harmonique [F„(.r), ^4„|, dont les 

 éléments satisfont pour tous les n à l'équation fonctionnelle 



(1) (-l)"F„(-x--l) = Fn{x). 



La suite harmonique définie à l'aide de la formule (14) du paragraphe 8 est 

 par conséquent parfaite. 



De plus nous aurons la proposition suivante: 



I. Les suites harmoniques formées des fonctions de Bernoulli 

 où des fonctions d'Euler sont parfaites toutes deux. 



Appliquons maintenant les résultats que nous venons de développer dans le 

 paragraphe 8, nous aurons les deux équations aux difTérences finies 



= "^ 



(2) F,.(.r)-F„(._I) ^ 2 .^ ^^^y^ , 



(3) F„ (X) + Fn (X - 1) = 2 -^ ^52 



et les deux développements 



(n-2s)l 



s = ^ 



^t 



(4) y^nCæ) = y A2s+\(pn- 



2s 



(x), 



<l 



(5) y Fn (X) =^ Aos Zn - 2. (-C) , 



5 = 



tandis que les éléments de la base [A„] satisfont aux conditions suivantes: 



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