310 28 



(6) 



2 



■"i — o ^0 > 



Z. ~ (2n-2"s)r^ = ^-^^ U^'" ~ ^'" + V ' 



s = 



OU, ce qui est la même chose: 



(7) 2L (2n-2s+l)!22"^2,^i = ^~^^ '^'"+'- 



s = 



On voit que la constante Kn qui figure dans la formule (7) du paragraphe 8 

 satisfait, dans le cas qui nous étudions ici, à la condition Ä^2u + i = 0; c'est-à-dire 

 que nous aurons le théorème suivant: 



II. La suite parfaite [F„(a-), A„] est déterminée, pourvu que nous 

 connaissions une seule des deux suites infinies 



(8) A„, A2, A^, . . ., A2„, . . . 



(9) Al, A3, A5, . . ., A2„ + i, . .. 



Pour les fonctions f,i(x) de Bernoulli la suite correspondante (9) ne contient 

 que le seul élément 



Al = Y , 



tandis que la suite (8) qui correspond aux fonctions /„(x) d'EuLER se réduira au 

 seul élément 



A -1 



On voit qu'une suite parfaite quelconque conduira à «fes formules récursives 

 de la forme (6) et (7). 



Or, il est très facile de donner l'inversion des théorèmes indiqués par ces 

 deux formules récursives. 



En premier lieu, soient 



o„, Ol, Oj, . . ., a„, . . . 



bo, fci, fc,, . . ., fc„, . .. ; ^0 = 



deux suites infinies, telles que nous aurons, pour n ^ 1, les formules récursives 



•"" 'Ir'^^^r ='-""""■■■ 



s = 



puis posons pour /j ^ 



(11) A2n = 2 (a„ ~^ fe„) , A2„ + i = o„, 



nous aurons le théorème suivant : 



