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III. La suite harmonique [F„(a;), A„], dont la base [A„] est déterminée 

 par les formules (11), est parfaite, de sorte que nous aurons ces deux 

 développements, valables pour tous les n: 



(12) -^ F„ (X) = ^ Osifn- 2s {X) , 



s = 



<T 



(13) -^ Fn[X) =^ (as+fo»)/„_2s(Xi. 



N = 



C'est-à-dire que nous pouvons remplacer la formule numérique (lu) par les 

 deux formules (12) et (13) qui contiennent la variable complexe x. 



Remplaçons, par exemple, dans (13) n par 2n-t-l, puis posons x = 0, nous 

 aurons, comme conséquence immédiate de (10), la formule recursive pour les T,, 



(14) ^ l2n:=2r-riT!2^"-2^ ~ ' ^ '" 



s =U 



En second lieu, soient 



Oo , «1, a, , . . ., On, ... 

 fto, /'i, b.^, . . ., fc„, ... 



deux suites infinies, telles que nous aurons, pour n >i 0, les formules récursives 

 ^ ' ^ (2n-2s+l)!22«-2«+i ^ i) "n , 



s = I) 



puis posons 



(16) A2n=an, Å2n + l=bn, 



nous aurons de même : 



IV. La suite harmonique [F„(x), A„], dont la base [A„] est déter- 

 minée par les formules (16), est parfaite, de sorte que nous aurons ces 

 deux développements, valables pour tous les n: 



(17) \Fn<X) =^b,ifn-oAx), L'LiR 



<1 





1 v^ '^^■ 



(18) y/^nW =^ asxn-2s{x). y^^ 



s = 



Remplaçons dans (17) n par 2n, puis posons x = 0, nous aurons, comme 

 conséquence immédiate de (15) la formule recursive pour les ß„ 



