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CHAPITRE II. 

 Les nombres de Bernoulli et d'Euler. 



§ 7. Méthodes générales. 



On voit fort bien comment on pourrait appliquer notre théorie précédente à 

 l'évaluation des formules récursives pour les ß„, T,i et Ê„. 



A cet effet, nous prenons pour point de départ l'équation aux différences finies 



s = n — l 



(1) f{x) - f{x-\) = ^ an.sx-'-'- 



s = U 



de sorte que nous aurons, en vertu du théorème 1 du paragraphe 2 : 



s = n 



(2) f{x) = K+ y^ an,n-s(n-s-l)lfs{x). 



s = l 



Appliquons ensuite la première des équations fonctionnelles (1) du paragraphe 

 5, nous aurons de même: 



£ = n 



(3) f(-x-l) = K-\-^i—lYa„,n-s{n-s-l)\fs(x), 



s = n 



d'où, en additionnant puis soustrayant les formules (2) et (3): 



■^2 



(4) . fM±f^^^Jl = K+^a,^^^_^i2s~iy.<p^ix), 



s= 1 



(5) A ^)-A-x-l) ^^ „„ ,._,^._,(2s)! ,,,.(a-, 



s = ü 



Quant aux coefficients a,i,s qui figurent au second membre de (1), nous aurons 

 immédiatement: 



( an,.-i = /-(O) -/•(-!) , 



^^^ i (/i— s— l)!a„, s =/■<"-''-*' (0) — /■'"-'-"(— 1). 



• 1 



Posons dans (4) x — O, dans (5) x= — -r- , nous aurons respectivement: 



(7) fM+JJ-R_K^2^ 



= 2 



2s 



s = l 



(8) «n. ..-. - /(- :-) + f(~ I) -2^ '-'^''^-"'r''-' Es ; 



