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On voit que la formule de Seidel contient précisément les mêmes nombres 

 de Bernoulli que la formule (5). 



1° Soit, dans (1) et (2), m un nombre impair, nous remplaçons m par 2m +1, 

 ce qui donnera: 



posons particulièrement 7=1, ce qui donnera: 



n + /> = 2m + 2 ; 

 nous aurons la formule de Stern : 



■^P-2 ^ n-2 



= 2 = 2 



(9) ^(-l)'(2s+2)^"'- =^(-l)'(2A2)^"'- 



La formule la plus simple de cette catégorie correspond à /) = n-)-2, ce qui 

 donnera m ^ n. 



Posons, dans (8), q = 2, ce qui donnera ; 



n+jD = 2m +3; 

 nous aurons la formule 



^P-2 ^ 11-2 



= 2 ^ 2 



(10) ^{-irLj^^y2m-2s-l)Bn,^s =^(~iyL"^^y2m-2s-l)Bm^s, 



S=0 S=0 



dont le cas le plus simple correspond à p = n+l, ce qui nous conduira à la for- 

 mule (7) de Seidel. 



Quant à la formule générale (11) du paragraphe 15, nous posons « = 0; sup- 

 posons ensuite 



< q < n — 1 , 



l'hypothèse .t = donnera, avec la définition (1) du nombre m: 



(11) ^('sY'" 1-')'-^n,-A0)+^{^\r("){m-\-q-s)l;(,„^s(0) = 0. 



1° Soit /)! un nombre impair, nous remplaçons m par 2m +1, ce qui donnera, 

 après une division par q ! : 



<- <- 



(12)^(-l)»(.j;)(''"+Y''"^^)'"^"— ' -- ^^(-1^2" )("""^V^'"^')2"^'--.i - 0; 



s = s = il 



le cas particulier correspondant à q = appartient à Stern'); posons encore 

 ') loc. cit. 



