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p^n + 1, ce qui donnera m^n, nous trouvons la formule la plus simple de ce 

 genre. 



Posons encore q = i , nous obtenons la formule la plus simple en supposant 

 p = n, ce qui donnera m=^n — 1. De cette manière nous trouvons la formule de 

 Seidel ') : 



(13) 



^(-l^'(2s)("~*^^''^"-» = ^' " = ^' 



ou, ce qui est évidemment la même chose: 



(14) ^(-iy(^'^)(22"-2«-l)ß„_, =. 0, n>2. 



s = 



2" Soit ensuite, dans (11), m un nombre pair, nous aurons, en remplaçant ni 

 par 2m: 



s=0 s=0 



dont le cas particulier q=0 est dû à Stern; posons /) = n-f2, ce qui donnera 

 m = n-\-l, nous aurons la formule la plus simple de ce genre. 



Posons encore 7=1, p^n-\-'l, ce qui donnera m = n, nous retrouvons la 

 formule (13) de Seidel. 



§ 18. Formules contenant les nombres d'Euler. 



Il est évident que les formules générales (11) et (12) du paragraphe 15 ne nous 

 donnent, pour a = 0, de formules élégantes que dans le cas où x = 0; car les déri- 

 vées qui figurent aux premiers membres des formules susdites seront très compli- 

 quées pour d'autres valeurs de x. 



Quant aux nombres d'EuLER, nous avons par conséquent à prendre pour 

 point de départ les formules (4) et (5) du paragraphe 15. Posons, dans la première 

 de ces deux formules, « = 0, nous aurons: 



(1) .r''(x+l)P =^(P\n+p-s) ! Xn+p-s{x) +^(-1)» (")(/i+p-s) ! ^„+p_.(a,-). 



s=u s=0 



Supposons ensuite x = — —, nous aurons selon que n^/j = 2m ou n-\-p^ 

 2m + 1 respectivement : 



1) loc. cit. p. 172. 



