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On voit que les développements (6) et (7) nous conduiront aux formules (3), 

 (4) et (5). Posons, au contraire, dans (8), x = et m = 2n respectivement m = 2n— 1, 

 nous aurons: 



(10) T„+t-(n + ~)En =^(l"t\)TsBn-s+l, 



^ ' s = l 



% = n — 1 



(11) Ê„-nT„ =^^/^^')EsB„_,. 



s = 1 



Quant à la formule (9), nous aurons pour les mêmes valeurs de x et m 



s = n— 1 



(12) (22«-i-2)r„ =^^\^\^'^^sTn-., 



s = l 

 n-1 



(13) 22"-iE„ -=^(2s^"i)2'-^î's+.r„_.. 



s = 



Revenons maintenant aux formules (18) du paragraphe 2 et (20) du para- 

 graphe 3, savoir 



<2 





s = l 



2 



(1-'^) (a;+ .^ j^„,(.r) = (m+l)7n.+i(æ) -h^ (2s + l)!ff+2 >i^"'^^~^^'^^' 



posons, dans (14), m = 2n et a; = 0, x^ — y, nous aurons respectivement: 



s = n— 1 

 (Iß) (2/l+l)ßn =^^ (Ï)^»''^«^ ' 



5=1 



s = n— 1 



(17) {(2n-l)22n-4n)ß„ =^ (^^)(22«-22»+')ßsßn-. , 



s = I 



d'où, en multipliant par 2-" la formule (16), puis soustrayant de (17) l'équation 

 ainsi obtenue: 



s = 71^1 



(18) C 



22"+2/i)ß„ =^(25)2'"^»^"- 



tandis que nous aurons en additionnant les formules susdites, puis introduisant 

 les Tn'. 



s = n— 1 



(19) 2n r„ =^ /2"27^)24^ßsr„_,. 



s = 1 



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