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s = o 



Dans ce qui suit nous désignons comme régulières les formules récursives 

 de la forme (lu) respectivement (15) pour les ß„ et les T,,, tandis que les autres 

 formules récursives seront désignées comme étant irrégulières. 



Remarquons que la plupart des formules récursives linéaires connues pour 

 les Bn et les T„ sont régulières, il est évident que les suites parfaites jouent un 

 rôle fondamental dans la théorie des nombres susdits. 



Cependant, il faut remarquer que la plupart des suites parfaites que j'ai trou- 

 vées par ces considérations ne présentent qu'un intérêt médiocre pour l'Algèbre. 



Le polynôme étudié dans le paragraphe 14 semble être une exception à la 

 règle générale. 



Il est très facile d'indiquer d'autres suites parfaites. Soit par exemple p >^2 

 un nombre entier, je dis, que les polynômes 



(20) /"'•'■^ = nV^"'(^+7)" 



s = l 

 s=p-l 



(21) gnix) 



5 = 1 



forment des suites parfaites. 



En effet, nous aurons immédiatement : 



(22) i-irfni-X-l) = fn{x), (-l)"ff„(-.T-l) = (-l)P J,„(a.-) , 



et nous verrons que fn{x) est toujours du degré tj, ^„(.v) du degré n respectivement 

 n — 1, selon que p est pair ou impair. 



Appliquons les définitions (20) et (21), les formules (11) et (12) du paragraphe 5 

 se présentent sous la forme suivante: 



(—1)" 1 



^— :y y„ i—px—p) = ~^ ip„ ipx) + fn-i (x) , 



(—1)" ( — 1)P ' 



^--JT /n i—px—p) = ^.r-X" (^■) + 9n (X) , 



ce qui donnera le théorème suivant: 



VI. S o i t p ; ; 1 un nombre entier, les polynômes 



(23) F„ (.r) = ~, fn ipx) + /■„_, (.V) , 



(24) Gnix) = ^Xnipx) - (—l)Pgnix) 



forment des suites parfaites. 



On voit que F„(a) est toujours du degré n, tandis que G„(.r) est du degré 

 n — 1 respectivement n, selon que p est pair ou impair. 



