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CHAPITRE III. 

 Formules complètes linéaires. 



§ 10. Formules régulières pour les B„. 



Il est très interessant, ce me semble, que la plupart des formules récursives 

 classiques connues pour les nombres de Bernoulli sont une conséquence immédiate 

 de l'identité ^ m 



^^ ' ^"' *'^"' ~ ^ + 2.(/n-l)! '^^ (2s) ! (m -2s) 1 ' 



formule qui nous donnera un grand nombre d'autres formules récursives aussi 

 élégantes que les précédentes. 



En effet, désignons par p un positif entier quelconque, puis posons pour abréger 



(2) A,„(.T,p) = "L±'^(2s,n{x,p)^(x^p)"^)-{x + pr + ', 

 nous aurons, en posant dans (1) a- \ p au lieu de ;r, la formule générale 



(3) ^(-l)-i (2s) ix + P^-^'B, = m\<f„,{x) + A,„_,(a-,p) , 



s = 1 



formule qui est essentielle dans la tbéorie des nombres de Bernoulli. 



Première application. Supposons æ = 0, puis posons pour abréger 



(4) A„, = A,n (0, p) = '" + ^ (2s„, (p) - p-") - p- + 1 , 

 je dis, que nous aurons les quatre formules récursives générales: 



! = n — 1 



(5) 

 (6) 

 (7) 

 (S) 



^(-l)^(2"|J)/'^+'ß«-. = (-1)"-'A2„, 



.5 = U 



S = n — 1 



^(-1)' (2st2)/''''''^''-» = (-1)"-'A2„ + ,, 



S =U 



^(-l^'(2" + 2)/'''^'^"-» = (-l)"-'(A2,. + i-/'A2„), 



s = n — 1 



(2n 1-1) ß. +^(-1)^(25^1 1)?"'^«-^ = (-l)"-'(y-A2„_,). 



En effet, posons dans (3) .r^=0, m^2n+l respectivement ;7J^2/i + 2, nous 

 aurons les formules (5) et (6); soustrayons (5) de (6), il en résulte la formule (7). 



