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Quant à la formule (8), nous posons dans (6) n — 1 au lieu de n, puis sousti'ayons 

 le résultat ainsi obtenu de la formule (5) divisée par p. 



Ces formules générales nous donnent les cas particuliers suivants: 



1° p^l; nous aurons: 



Å — "^~^ A à ^ } 



■"m — t) ) ^l'i Am — 1 — fj , 



ce qui donnera les formules 1, 2, 3 et 4 de la Table. Les trois premières de ces 

 formules sont dues respectivement à Moivre'), à Jacobi^) et à Stern'). 



La formule de Moivre est la première formule recursive connue pour les 

 nombres de Bernoulli. On voit que notre définition des ß„, savoir la formule (15) 

 du paragraphe 2, donnera et la formule de Moivre et celle de Jacobi. 



2" p^2; nous aurons dans ce cas: 



Am = (m-3)2"'-i + m + l, A,„— 2^„_, = 2'"-i-(m-l), 



ce qui nous conduira aux formules 5, 0, 7 et 8 de la Table; la formule 5 est due 

 à G.-F. Meyer '). 



On voit, en vertu de la formule (11), du paragraphe 4, que les suites par- 

 faites qui correspondent aux formules régulières (5) et (6) ont respectivement les 

 éléments généraux 



,Q\ Snix,p) + (— l)" S n(— x— l,p) 



/.„s Sn + l{X,p) + {--l)"Sn + l {—X—l,p) 



^^ (n+l)! 



Deuxième application. Supposons, dans notre formule (3), x= — ^j 

 puis posons pour abréger: 



(11) ^„ = m(2/,„_,(/j)-(2p-l)"' i)-(2p-l)"". 



où lm(p) est la somme de puissances numériques, définie dans la formule (17) du 

 paragraphe 4, nous aurons, par la méthode expliquée dans la première application, 

 les formules générales 



(12) {2-^"^'^2)Bn^^{-iy(l")2-^" ■^^{2p -\f^B„ s = {-h- ' A.,n , 



■ 1 



s = n — \ 



(13) ^(- 1 r ( 2" i 1 ) 2 '"' --'^ (2/; -1 y^' /}„ - . = 



(-l )"-lA2n + l 



2p-l 



') Miscellanea analytica, complementuni, p. fi ; Londres 1730. 



■-■) .Journal de Ci-elle, t. 12, p. 2(;.'); I,s:i4. 



■■') Ibld. t. 84, p. 267; 1878. 



') Die lîeiiiouUisclien Zahlen (Thèse de doctorat); Gœttingue 1859. 



