35 317 



(28) ^(-1)' ( l") 6'"-'*P''ßn-s = «".pß" + ßn.P- 



Dans ces formules générales p désigne un positif entier quelconque. 



§ 11. Formules régulières pour les T„. 



Dans nos recherches sur les coefficients des tangentes nous prenons pour 

 point de départ la fonction d'EuLER 



m ( \ ~ 1- ^"' I ^^ (-l)^-'r»x"'^2s + i 



^' ^'"^'^' 2 ■ m! ■ ^ (2s-l)!(m — 2s+l)122» ' 



remplaçons x par x-\-p, où p désigne un positif entier quelconque, puis posons 

 pour abréger 



(2) An^ {X, p) = 2"» + 1 <T„, {X, p) - {2p L 2a-)'" , 



nous aurons la formule générale: 



rn +1 

 S s" 2~ 



(3) ^(-^y-'{2s"-l) (2p+2a;)"'-2»+ir, -^ A,„{x,p) ^ (-1)/',»! 2"'+i^„,(a-). 



s = 1 



Première application. Supposons, dans (3), a; =-- — -^ , puis posons en 

 vertu de (2): 



(4) A^ = 2Tm{p)-{2p-ir, 



où r„, (p) est la somme de puissances numériques définie dans la formule (IS) du 

 paragraphe 4; nous aurons, par le procédé ordinaire, ces quatre formules récursives: 



s = ;i— I 



(5) ^(- l)^(2s""i) (2p-lP*^ Tn-s = (-!)"-'£„ + (-1)"-'A2„ , 



S -U 

 5 ^-- II— I 



(6) 



^(-1)»('\M(2/J-1)2T„_, = (_1)"-M2„_,, 

 S = ■ • 



s=_n— 1 



(7) " ^(-l)-^(2s+l)(2p-l)2»('r„_, = (-l)P-iE,,-(_l)«(A2„-(2/.-l)A2„_,), 

 s = u 

 s ^ n— 1 



(8) r„+,-^(-l)'(J_^_2)(2/,-l)2»'2 7',,_^ _ (-l)P-i(2p^l)£„-(-l)"((2p-l)A2„-^2„+,). 



s=0 



l" p=l; nous aurons: 



Ain =- 1 ) -Am Ani-l = U , 



ce qui nous conduira aux formules S'i, 34, 3ô, 3G de la Table. 



41* 



