37 319 



s = n — 1 



(18) 2nT„+^i^lf(f^J_\){2pr-^Tn-s = (-^^"-'{^^n-^^^) , 



5 = 1 



s = n — 1 



(19) ^(-iyi^^^'^^y2p)^ + ^Tn-s = i-l)"-HA2a + l-2pA2n). 



s = U 



3" p^2; nous aurons: 



A„, = 4'" - 2"> + 1 , ^,„ — 4il„,_i = 2"' + 1 , 

 ce qui donnera les formules 45, 4G, 47 et 48 de la Table; la formule 4Ô est due à 

 G.-F. Meyer'). 



Les suites parfaites qui corrrespondent aux formules régulières (12j et (16), 

 (13) et (17) ont respectivement les éléments généraux 



.on^ <^u{x,p) + (— l)"g„(— x— 1, p) 



^ ' n! 



(21^ 



an + i{x, p) + {—l)"an + i{—x — l, p) 

 (n + 1) 



Troisième application. Supposons dans la formule (3) 



X ^ ^ , a =^ 1 ou a ^ 2 , 



puis posons: 



(22) A,n = 6'"^,„_i (y, p) -3(6p-2a)'"-' 



nous aurons pour m=^2n — 1, la formule recursive 



= n-l 



(24) 



^{-ir(^"-^)3^''-^Hep-2ay-^T„^s = (-1)"-M2„- ^ 1)«+P^(3" 3) ^^^ 



s = 



ce qui donnera pour /j= 1, p = 2 les formules 53, 54, 55 et 56 de la Table. 



La suite parfaite qui correspond à la formule régulière (24) a l'élément général 



IV i?,X) \ »^nU — -f,/î) + (— l)"Tn(— X — y,/)— l) 



(25) {-lY^''[^~Xni^)) + — '—^ ^!-^ • 



55 12. Formules pour les E„. 



Nos recherches sur les nombres d'EuLEU sont fondées sur la formule (10) du 

 paragraphe 5, savoir: ,,i 



^^^ ^y-'"^''> - 7rr\ ^^ (2s)! 22^' {m-2s)\ ' 



5=1 



dans ce qui suit nous désignons toujours par p un positif entier. 



') Die Bernoullischeii Zahlen. Gcettingue 1839. 



