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Première application. Supposons, dans (1), x^p, puis posons pour 

 abréger : 



(2) Am =- (2/j i- 1)'" - 2'" + 1 (T„, ip) , 



le procédé ordinaire nous conduira à ces quatre formules récursives: 



(3) ^(-l)»(^^)(2jD+lp£„_, = (-l)"-iA2„, 



s = 

 s = n— 1 



(4) ^(-I)»-l(^'J-}J(2p^l)2s-lE„_^ = (_l)pr„ + (_l)n4,„_j, 



s = 1 • • 



■s =^ n— 1 



(5) ^(-l)'(2"27^)(2/)+l)2»E„-.. - (-l)n2/)^l)r„- (-l)"(il2„-(2/)+l)^2„ i), 



s ^- 



(6) ^(-l)''(2s + i)(2p+l)''+'^"- = (-DPT'n+i + (-l)"-i(A2„+i-(2p+l)^,„), 



1" p = 0, ce qui donnera a,„{0) = 0, d'où: 



•A/n = 1 , "m -"m — I = U j 



c'est-à-dire que nous aurons les formules classiques 57, 5S, 51) et 60 de la Table. 

 Les formules 57 el 5Î) sont dues respeclivemenl à Euler ') et à Scherk-). 

 2" /J = 1, nous aurons dans ce cas: 



A,„-3'"-^-2"' + ', i,„-3A,„_i=-2'", ' 



ce qui donnera les formules 65, 66, 67 et 68 de la Table. 



3" p — 2; les formules (5) et (6) donnent respectivement les formules 71 et 73 

 de la Table. 



Deuxième application. Introduisons, dans la formule (1), æ = p — -^, puis 

 posons pour abréger: 



(7) A,„ ^ (2p)"'-2r,„(p), 

 nous aurons pour p impair: 



i- n- 1 



(8) 2£„ +^'{~ir(r/l](2pf^En-, = (-l)"-i^2n , 



S = ] 

 s - n—l 



(9) ^(-'^y{l''s+\y^P^^'''^" ^ = (-l)"-'>-l2a+l, 



(10) (2/. -1) £„ +^(- 1) ( J^ 1 ){2py'^En-s = (-1)" > {"^'^p' - ^2,.) , 



. s — l 



') Institutiones calculi <lifTerentialis , p. 54.'); .Saiiil-I'clcrsboiirg 1755. Opuscula aiialytica. t. H, 

 p. 269-70; Saint-I'ctersboiiij; 1785. 



'-) Matlicinatischc Abhandlungen; Herlin 1825. 



