Introduction. 



La méthode classique d'EuLER'), suivie dans l'étude des nombres de Bernoulli, 



des coefficients des tangentes et des nombres d'EuLER ou coefficients des sécantes, 



est fondée sur les séries de puissances obtenues pour les fonctions méromorphes 



élémentaires 



^ 1 , ce 1 x 2 



(1) tga;, COtx, —. , , Y -, :;— ; 



^^ ° ' X smx COS X l — e-^ 1 + e--^ 



combinées avec les propriétés fondamentales de ces fonctions et avec les séries de 

 puissances toujours convergentes obtenues pour les fonctions entières 



(2) sin X' , cosx, e~^. 



Or, désignons par « un nombre complexe quelconque, puis combinons les 

 séries (1) avec celles obtenues pour les puissances 



(3) (!!!£)•. (cos«,-. (1^7. (1+1- 



nous verrons que les formules classiques, concernant les nombres susdits, ne sont 

 que des représentants isolés d'une infinité de formules de ce genre. 



L'illustre Göpel"), déjà en 1843, a remarqué de telles généralisations des for- 

 mules classiques, et il ajoute: 



Da man sich dem Obigen zufolge Recursions for mein in belie- 

 biger Menge verschaffen kann, so möchte es nicht von grosser 

 Erheblichkeit sein, deren neue aufzusuchen; es gelänge denn eine 

 solche aufzufinden, die einen lieferen Blick in den Bau dieser 

 Zahlen ver stattete. 



>) Opuscula analytica, t. II, p. 257 — 274; Saint-Petersbourg 1785. Voir, pour des recherches ulté- 

 rieures d'autres géomètres, la belle Monographie de M. Louis Saalschütz: Vorlesungen über die Ber- 

 noullischen Zahlen. Berlin 1893. 



-) Archiv de Grunert, t. 3, p. 65; 1843. 



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