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Celte réserve de Göpel, dans ses remarques relatives à une Note de Schlö- 

 MiLCH '), est très intéressante; car Hermite^) et Stern') ont appliqué, précisément 

 de la manière indiquée par Göpel, les formules récursives de Moivre et de Jacobi 

 pour les nombres de Bernoulli. 



De plus, il faut ajouter que des formules récursives, d'une forme très bizarre 

 nous le verrons, sont très utiles et dans la théorie des nombres en question et 

 dans la théorie des nombres en général. C'est-à-dire qu'il est impossible de con- 

 damner dès à présent comme étant sans valeur une telle formule recursive. 



Quant à la méthode classique que nous venons de mentionner, nous remarquons 

 expressément, qu'il nous semble peu naturel et peu systématique de fonder l'étude 

 des nombres rationnels en question sur des éléments purement transcendants. De 

 plus, une théorie élémentaire et directe est beaucoup plus simple et générale que 

 la méthode classique. 



On pourrait dire que les résultats classiques concernant les nombres J3„, r„ 

 et E„ sont trouvés par hasard, sans méthodes générales et systématiques. 



En effet, on sait que des formules très analogues sont trouvées séparément 

 et par des considérations très différentes, tandis que de telles formules sont en 

 réalité des cas particuliers d'une même formule générale, comme nous le verrons 

 plusieurs fois dans les pages suivantes. 



Comme un exemple caractéristique de ce genre, nous prenons les fornmles 

 récursives incomplètes, déduites dans le chapitre IV à l'aide d'un seul polynôme 

 entier. De cette manière nous obtenons d'un seul coup toutes les formules connues 

 de ce genre et un grand nombre d'autres. 



Pour citer un autre exemple, nous remarquons que les formules récursives 

 générales contenues dans les paragraphes 11, 12 et 13, savoir les formules d'EuLER 

 et de Bernoulli concernant des sommes de puissances numériques, nous donnent 

 comme des cas particuliers un nombre de formules classiques déduites séparément 

 et par des considérations très différentes. 



Remarquons en passant que les formules de Bernoulli et d'EuLER ne sont 

 que des cas particuliers des deux équations aux différences finies qui figurent dans 

 nos définitions de f„(.r) et /n(^')- 



On sait que la méthode développée dans le paragraphe 7 est très connue — 

 pour des valeurs entières de la variable x. 



La méthode du paragraphe 'J, nouvelle peut-être, est essentielle dans la théorie 

 des nombres ß„, T« et E,,. 



En effet, nous déduisons à l'aide d'une formule recursive, d'une certaine forme 

 très générale, pour les ß„ ou les T,, une identité aigébri([ue contenant une variable 

 complexe, identité qui est une conséquence immédiate de la formule numérique 



') Archiv de Grunert, t. 3, p. 9 18; 1843. 

 ■^) Journal de Grelle, t. 81, p. 93-95; 1876. 

 3) Ibid. t. 84, p. 267 269; 1878. 



