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susdite. De cette manière nous pouvons traiter, en même temps, les trois groupes 

 de nombres ß„, Tn et £„. 



Remarquons que les formules très générales et très remarquables de M. Hauss- 

 ner ') sont de la forme susdite-) et que la plupart des formules récursives connues 

 ont la même propriété. 



Dans un Mémoire récent^) j'ai étudié les suites harmoniques comme des 

 généralisations des suites formées des f„(x) et des ^n <•>-■), niais sans appliquer aux 

 nombres ß„, Tn et /?„ les résultats généraux ainsi obtenus. 



Une telle application est le but principal du présent Mémoire, tandis que 

 je me réserve de revenir, à une autre occasion, sur les applications des résultats 

 ainsi trouvés à la formule sommatoire d'EuLEK et Maclaurin et à la théorie 

 des nombres. 



On voit que ma méthode est entièrement élémentaire, parce qu'elle n'e.xige 

 que la formule binomiale d'un exposant positif entier et, ce qui est la même chose, 

 la formule de Taylor pour un polynôme entier. 



Quant aux résultats ainsi obtenus, ils me semblent exiger une révision pro- 

 fonde de toute notre connaissance relative aux nombres de Bernoulli. On peut 

 comparer encore notre généralisation du théorème de Lipschitz. 



J'ai ajouté la Table des simples formules récursives pour la clarté du texte. 

 La Table ne contient que des formules de la forme la plus simple, et il faut 

 remarquer que la plupart de ces formules sont obtenues en donnant, dans des 

 formules beaucoup plus générales, des valeurs particulières à un paramètre. 



Or, les formules de la Table étant aussi simples que leurs représentants épars 

 connus et classiques, il est évident que ces formules classiques sont trouvées par 

 hasard, sans méthodes systématiques et générales. 



J'indique par un astérisque ajouté au numéro, que je me rapelle avoir vu 

 autrefois la formule recursive en question; cependant je ne peux pas prétendre que 

 ces indications soient complètes. 



') Göttinger Nachrichten 1893, p. 777-809. 



■-) J'ai réussi à généraliser, par la méthode susdite, les formules de M. Haussnek ()ui se présentent 

 comme des réprésentants isolés d'une grande classe de formules de ce genre. Le Mémoire en question 

 paraîtra dans les Berichte der kgl. sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. 



^) Le Mémoire paraîtra dans les Annales de l'Ecole Normale. 



Copenhague, le 29 septembre 1912. 



Niels Nielsen. 



